结论前置：员工合同到期时，用人单位可以选择不续签劳动合同并终止劳动关系，但需根据具体情况判断是否需要支付经济补偿。若存在法定必须续签的情形，则用人单位不得随意终止劳动关系。
一、合同到期后的基本处理原则
- 自然终止：劳动合同到期即意味着双方约定的劳动期限结束，劳动关系自然终止。此时，用人单位无需提前通知员工即可终止劳动关系，但需遵循法定程序和条件。
二、合同到期后不续签与终止的具体情形及经济补偿
正常到期不续签：
- 若用人单位决定不再与员工续签劳动合同，且不存在法定必须续签的情形，则需根据员工在本单位的工作年限支付经济补偿。
- 经济补偿标准：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。这里的“工资”指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
公司维持或提高条件续订，员工不同意：
- 在这种情况下，由于用人单位提供了不低于原合同条件的续订机会而员工拒绝，因此用人单位无需支付经济补偿，劳动合同自然终止。
公司降低条件续订，员工不同意：
- 若用人单位试图以降低劳动条件的方式续订合同而员工不接受，则用人单位需按照正常到期不续签的标准向员工支付经济补偿。
员工存在法定情形：
- 如员工存在《劳动合同法》第三十九条规定的严重违反规章制度、失职等行为，用人单位可以在合同到期时不续签且无需支付经济补偿。但需注意，用人单位需承担举证责任，证明员工存在上述行为。
三、必须续签的情况
连续工作满十年或二次固定期限合同：
- 若劳动者在用人单位连续工作满十年，或连续订立二次固定期限劳动合同且没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，当劳动合同期满时，除非劳动者提出订立固定期限劳动合同，否则用人单位应当订立无固定期限劳动合同，不得随意终止劳动关系。
特殊情况下的劳动合同续延：
- 根据《劳动合同法》第四十二条及第四十五条，若员工存在特定情形（如接触职业病危害作业未进行离岗前职业健康检查、患职业病或因工负伤丧失劳动能力、患病或非因工负伤在医疗期内、女职工在孕期、产期、哺乳期等），劳动合同应续延至相应情形消失时终止。期间，用人单位不得辞退员工，也不得随意终止劳动关系。
四、程序性要求
- 用人单位在终止劳动关系时，需遵循法定程序，包括办理离职手续、结清工资、出具离职证明等，确保劳动关系顺利终结。
- 若用人单位未按照法定程序终止劳动关系，可能面临劳动争议和法律责任。
五、实例分析
- 实例一：小张与公司签订的三年固定期限劳动合同到期。若公司提出以原工资待遇续签，小张不同意，则公司无需支付经济补偿；若公司降低工资待遇续签，小张拒绝，公司需支付经济补偿；若公司直接不续签，同样需支付经济补偿。
- 实例二：小李在公司连续工作满十年，劳动合同到期。此时，除非小李提出订立固定期限劳动合同，否则公司应当订立无固定期限劳动合同，不得随意终止劳动关系。
总结与建议：员工合同到期时，用人单位在终止劳动关系时需严格遵守法律规定的条件和程序，充分考虑员工权益，以避免不必要的法律纠纷。若您在此方面遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。