若父母不履行监护职责，应由父母双方继续承担抚养费。具体分析如下：

一. 父母仍应承担抚养费

• 依据《中华人民共和国民法典》第二十六条，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。这种义务是法定的，不因父母是否履行监护职责而改变。即使父母未直接抚养子女，也仍需承担抚养费。

二. 抚养费支付的责任

• 父母双方都有责任支付抚养费，无论是否分居或离婚，都不影响其对子女的抚养义务。如果一方未支付抚养费，另一方或子女本人（若已成年并具有完全民事行为能力）有权向法院提起诉讼，要求支付抚养费。

三. 特殊情况下的处理

• 若父母双方均不履行抚养义务，未成年子女或不能独立生活的成年子女可以通过其法定代理人（如祖父母、外祖父母、兄姐等）向法院提起诉讼，要求父母支付抚养费。
• 在某些特殊情况下，如父母均无法履行抚养义务，民政部门或相关社会福利机构也可能成为子女的监护人，并代理子女提起诉讼，要求父母支付抚养费。

综上所述，即使父母不履行监护职责，他们仍应承担抚养费。这是法律规定的义务，旨在保护子女的合法权益。如果父母未履行这一义务，子女或其法定代理人有权向法院提起诉讼，要求支付抚养费。如有进一步需要，您可以继续咨询我。