核心结论：处理此类事件需兼顾法律责任、民事赔偿及内部管理，具体分以下情况处理：

1. 法律责任认定

• 过失责任：若员工因疏忽（如未观察路况、超速等）导致压死宠物狗，可能构成《民法典》第1165条规定的“过错侵权”，需承担民事赔偿责任。
• 无过错情形：若狗未拴绳或突然窜入车道，员工可能因“紧急避险”或“无法预见”免责，但需提供证据（如行车记录仪、监控）证明自身无过错。
• 刑事风险：若员工存在故意碾压行为，可能涉嫌《刑法》第275条“故意毁坏财物罪”（需财物价值达5000元以上），但宠物狗价值通常难以达到刑事立案标准，除非能证明其具有特殊经济价值（如赛级犬）。

2. 民事赔偿处理

• 赔偿范围：根据《民法典》第1184条，赔偿金额以宠物狗的市场价值为限（需提供购买凭证、血统证明等）。若狗具有情感价值（如陪伴多年），法院可能酌情支持精神损害赔偿，但标准较低。
• 协商优先：建议双方先协商赔偿金额，可参考同类犬种市场价或第三方评估。若协商不成，可通过法院委托鉴定机构评估价值。
• 保险覆盖：若员工车辆投保了第三者责任险，可申请理赔，但需注意保险条款是否排除“宠物”赔偿（部分条款可能将宠物归类为“财物”需明确）。

3. 内部管理建议

• 厂区规则：建议厂方制定《车辆行驶管理规定》，明确厂区内限速、宠物管理要求（如必须拴绳），并要求员工签署确认，减少后续纠纷。
• 证据固定：发生事故后，应立即保护现场，拍摄照片、视频，并报警或联系厂方安保部门记录情况，避免证据灭失。
• 情绪安抚：若老板对宠物有深厚感情，员工可适当表达歉意（非法律义务），但需避免过度承诺赔偿，防止后续反悔。

行动建议：

1. 员工应第一时间停止行驶，检查狗只情况并联系老板或厂方负责人；
   
2. 双方协商赔偿时，建议书面约定金额及支付方式，避免口头承诺；
   
3. 若争议较大，可委托律师介入调解或直接向法院起诉。
   

如有进一步细节（如狗是否办证、员工是否违规等），可补充说明后继续咨询。