若法院判决您侵权并要求公开道歉，而您拒不履行，法院可能会采取以下强制执行措施：
公告、登报等方式公开道歉：
- 根据《最高人民法院关于审理利用信息网络侵害人身权益民事纠纷案件适用法律若干问题的规定》第十六条，当法院判决侵权人承担赔礼道歉等民事责任，而侵权人拒不履行时，法院可以采取在报刊、网络等媒体上发布公告或者公布生效裁判文书等方式执行。这意味着，即使您拒绝主动道歉，法院也可能通过其他途径公开您的侵权行为及道歉要求，由此产生的费用将由您承担。
支付迟延履行金：
- 如果您未按判决指定的期间履行非金钱给付义务（如赔礼道歉），则应当支付迟延履行金。迟延履行金的计算方式可能因地区而异，但通常与未履行期间和一定的利率或标准挂钩。这相当于对您拒不履行判决行为的一种经济惩罚。
罚款、拘留：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》第一百一十四条，诉讼参与人或者其他人拒不履行人民法院已经发生法律效力的判决、裁定的，人民法院可以根据情节轻重予以罚款、拘留；构成犯罪的，依法追究刑事责任。罚款的金额和拘留的期限由人民法院根据具体情况决定。这意味着，如果您持续拒不履行判决，可能会面临更严重的法律后果。
纳入失信被执行人名单：
- 被执行人有能力履行而拒不履行法院判决的，可能会被纳入失信被执行人名单。这将对您的信用记录产生严重影响，限制您的高消费、贷款、担任企业高管等行为。在当今社会，信用记录的重要性日益凸显，纳入失信被执行人名单将对您的生活和工作带来诸多不便。
此外，在极端情况下，如果您拒不执行法院判决的行为构成犯罪（如拒不执行判决、裁定罪），则可能面临刑事追责：
- 根据《中华人民共和国刑法》第三百一十三条，对人民法院的判决、裁定有能力执行而拒不执行，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。单位犯前款罪的，对单位判处罚金，并对其直接负责的主管人员和其他直接责任人员，依照前款的规定处罚。
法律建议：
- 尊重法院判决，及时履行公开道歉的义务，以避免不必要的法律后果。
- 如果您对判决结果有异议，可以通过合法途径提出上诉或申请再审，而不是拒不履行判决。
- 在处理侵权纠纷时，建议咨询专业律师，以了解您的权利和义务，并制定合理的应对策略。
若您有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。作为专业律师，我将根据您的具体情况提供有针对性的法律建议。