结论前置：根据您描述的情况，即连续工龄10年且离60岁退休不足5年，企业一般不能随意解聘您，但在特定条件下（如您存在严重过错等）企业可能解除劳动合同。以下从不同角度为您详细分析：

一、签订无固定期限劳动合同的权利

根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，当劳动者在某一用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年时，若劳动者提出或同意续订、订立劳动合同，除非劳动者主动要求订立固定期限劳动合同，否则用人单位应当与其订立无固定期限劳动合同。这意味着，如果您已经连续工作了10年，并且距离退休年龄不足5年，您有权要求公司签订无固定期限劳动合同，从而获得更稳定的就业保障。

二、经济性裁员时的优先留用权

虽然直接的法律条款并未明确规定“连续工作10年且距离退休年龄不足5年”的劳动者在经济性裁员中必须被留用，但根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十一条的规定，裁减人员时，应当优先留用与本单位订立较长期限的固定期限劳动合同的、与本单位订立无固定期限劳动合同的劳动者。由于您符合签订无固定期限劳动合同的条件，因此在经济性裁员中，您应当被优先考虑留用。

三、企业解雇的限制与条件

1. 一般限制：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，劳动者在本单位连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年的，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。虽然您的连续工龄为10年，未达到15年，但这一条款体现了法律对接近退休年龄劳动者的保护倾向。不过，这并不意味着企业完全不能解雇您，而是需要遵循更严格的条件和程序。

2. 特定条件下的解雇：如果劳动者存在《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的情形，如严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害等，用人单位可以解除劳动合同。这意味着，即使您连续工龄10年且离退休不足5年，如果您存在严重过错，企业仍然有权解雇您。

四、法律救济途径

如果企业违反相关规定，不与您订立无固定期限劳动合同或侵犯您的其他合法权益，您可以通过以下途径维护自己的权益：

1. 协商：首先与企业进行沟通协商，要求其按照法律规定履行义务。
2. 调解：协商不成时，可向本单位劳动争议调解委员会或依法设立的基层人民调解组织申请调解。
3. 仲裁：调解不成或不愿调解的，可在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内向劳动争议仲裁委员会提出仲裁申请。
4. 诉讼：对仲裁裁决不服的，除法律另有规定外，可自收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。

五、建议与注意事项

1. 保留证据：无论您选择哪种途径维护自己的权益，都需要保留好相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录等。
2. 及时咨询：如果您对企业的解雇行为有疑问或不满，建议及时咨询专业律师，以便更好地了解自己的权益和维权途径。
3. 关注政策变化：劳动法律法规可能会随着时间和政策的变化而调整，建议您关注相关政策动态，以便及时了解自己的权益变化。

综上所述，虽然您连续工龄10年且离60岁退休不足5年，企业一般不能随意解聘您，但在特定条件下（如您存在严重过错等）企业可能解除劳动合同。如果您遇到相关问题，建议及时咨询并寻求法律帮助。