可以申请赔偿，但不一定是双倍工资的全部金额，需根据具体情况分析。以下是详细解答：
一、关于双倍工资的主张
法律依据：根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。但您仅工作了5天，未超过一个月，因此从严格意义上讲，不能直接主张整个月的双倍工资。不过，若从用工第二天起算至被辞退日，您有权要求这部分期间内因未签合同而应得的额外工资补偿（即双倍工资差额，实际为多支付5天的工资，因首日工资通常已正常支付）。
实际操作：虽然法律条文规定了超过一个月未签合同需支付双倍工资，但在您这种情况下，更合理的做法是主张这5天工作期间内，因未签订书面合同而应得的额外补偿，这通常表现为要求用人单位支付这5天工资的两倍中的差额部分（即再支付5天的工资，因为首日工资已支付，所以实际是要求额外支付5天的工资作为补偿，但表述上可理解为要求双倍工资中未支付的部分）。然而，司法实践中，对于如此短的工作期限，仲裁或法院可能会根据公平原则，酌情考虑支持部分或全部的额外工资请求。
二、关于违法辞退的赔偿
违法辞退的认定：若用人单位无法证明其辞退行为有合法依据（如严重违反公司规章制度等），则可能构成违法辞退。
赔偿标准：根据《劳动合同法》第四十七条、第八十七条，违法辞退的，用人单位应按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，在您的情况下，若构成违法辞退，您有权要求用人单位支付一个月工资作为赔偿金（因为不满六个月，按半个月工资的两倍计算）。
三、行动建议
收集证据：保留好能证明您工作5天及劳动关系的证据，如考勤记录、工作证、工作邮件、同事证言等。
协商解决：首先尝试与用人单位协商，要求支付5天的工资及因未签合同应支付的额外补偿（若主张双倍工资差额，则为再支付5天的工资），以及若构成违法辞退的赔偿金。
申请仲裁：若协商不成，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，请求裁决用人单位支付工资、额外补偿（双倍工资差额）及违法辞退的赔偿金等。
总结：您有权要求用人单位支付5天的工资，并可根据情况主张因未签合同而应得的额外补偿（表述上可理解为双倍工资中未支付的部分，但实际计算为再支付5天的工资）以及若构成违法辞退的赔偿金（一个月工资）。建议您先收集证据，再与用人单位协商，协商不成则申请劳动仲裁以维护自身权益。如有进一步疑问或需要具体法律帮助，请直接向我咨询。