可以申请劳动仲裁。针对您上班15个月单位未签订劳动合同的情况，以下是从不同角度的详细分析：

一、法律权利与救济途径

1. 双倍工资赔偿：

   • 根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，您有权要求单位支付11个月的双倍工资（因为第一个月不计算在内，从第二个月开始计算至第12个月，共11个月）。
   • 计算公式为：双倍工资赔偿 = 月工资 × 11个月。例如，若您的月工资为5000元，则双倍工资赔偿为55000元。

2. 劳动仲裁申请：

   • 您可以去当地人力资源和社会保障局（原劳动局）内的劳动争议仲裁委申请劳动仲裁。
   • 立案时需携带的材料包括：仲裁申请书2份、申请人身份证复印件1份、相关证据复印件和证据清单2份、用人单位的工商登记信息（部分地区不需要提供）。

二、劳动仲裁流程与时间节点

1. 提交材料与立案：

   • 提交材料后，5个工作日内仲裁委将给予立案。

2. 举证与答辩：

   • 立案后，双方将获得举证期和答辩期。

3. 开庭审理与调解：

   • 仲裁委将组织开庭审理，并对双方进行调解。

4. 裁决与结案：

   • 调解不成时，仲裁委将下达裁决书。劳动仲裁通常在60天内结案。

5. 法院诉讼：

   • 若对裁决书不服，您可以在15天内向法院提起诉讼。

三、其他注意事项

1. 不耽误新工作：

   • 申请劳动仲裁期间，您不耽误去新单位工作。

2. 无固定期限劳动合同：

   • 若单位未与您签订劳动合同超过一年，根据法律规定，将视为已订立无固定期限劳动合同。

3. 社保缴纳义务：

   • 即使未签订劳动合同，单位依然不能免除为劳动者缴纳各项社保费的义务。若单位未履行，您可向劳动监察部门投诉。

四、建议与行动

1. 收集证据：

   • 在申请劳动仲裁前，务必收集好与单位存在劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录等。

2. 及时申请：

   • 鉴于劳动仲裁的时效性，建议您尽快申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。

3. 咨询与协助：

   • 若您在申请过程中遇到任何问题或需要进一步的法律协助，请随时向我咨询。我将根据您的具体情况，提供更为详细和专业的法律建议。

综上所述，您完全有权申请劳动仲裁，并要求单位支付11个月的双倍工资。希望以上分析能对您有所帮助，如有任何疑问或需要进一步的法律协助，请随时联系我。