儿子和父母断绝关系，双方互不承担抚养或者赡养等费用的说法，在法律上是不成立的。以下从不同角度为您详细分析：

一、法律角度

1. 抚养义务：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。这种义务是法定的，不因双方协议或其他原因而免除。因此，即使儿子和父母声称“断绝关系”，父母对未成年儿子的抚养义务仍然存在。

2. 赡养义务：同样根据《中华人民共和国民法典》，成年子女对父母负有赡养、扶助和保护的义务。这种义务也是法定的，具有强制性和无条件性。它不因父母是否对子女提供经济上的支持、是否合理进行财产的分配等而有所改变。因此，儿子作为成年子女，对父母的赡养义务不能因“断绝关系”而免除。

3. 协议无效：如果儿子和父母之间签订了所谓的“断绝关系协议”，并试图通过该协议免除双方的抚养或赡养义务，这样的协议在法律上是无效的。因为民事主体从事民事活动，不得违反法律，不得违背公序良俗。通过协议解除亲属关系，实质上是对人身关系的非法处分，不但违反法律对抚养和赡养义务的强制性规定，也与社会主义核心价值观以及传统孝道相背离。

二、伦理角度

从伦理角度来看，父母与子女之间的关系是基于血缘和亲情的特殊关系。这种关系不仅仅是一种法律关系，更是一种道德和伦理关系。因此，即使双方声称“断绝关系”，这种基于血缘和亲情的联系仍然存在，无法被完全割断。儿子作为子女，应该尊重并孝敬父母，承担起赡养父母的责任。

三、实际后果

如果儿子坚持不履行赡养义务，父母在缺乏劳动能力或者生活困难的情况下，有权要求儿子给付赡养费。如果儿子仍然拒绝履行，父母可以向法院提起诉讼，要求儿子承担法律责任。法院在审理此类案件时，通常会依法支持父母的诉求，判决儿子履行赡养义务。

建议：

• 儿子应该认识到自己的法律义务和道德责任，尊重并孝敬父母，承担起赡养父母的责任。
• 父母也应该与儿子进行沟通，了解儿子的想法和困难，寻求和解和协商的方式解决问题。
• 如果双方无法达成一致意见，可以寻求第三方调解或法律途径解决争议。

希望以上分析能够对您有所帮助。如果您还有其他法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。