不服检察院不立案决定申请复议的法律依据主要来源于《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关规定，以下是对此问题的详细解答：
一、法律依据
《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十二条：
- 该条款明确规定，人民法院、人民检察院或者公安机关对于报案、控告、举报和自首的材料，应当按照管辖范围，迅速进行审查。认为有犯罪事实需要追究刑事责任的时候，应当立案；认为没有犯罪事实，或者犯罪事实显著轻微，不需要追究刑事责任的时候，不予立案，并且将不立案的原因通知控告人。控告人如果不服，可以申请复议。
《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十三条（虽主要规定检察院对不立案的监督，但间接支持控告人救济）：
- 人民检察院认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查的，或者被害人认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查，向人民检察院提出的，人民检察院应当要求公安机关说明不立案的理由。人民检察院认为公安机关不立案理由不能成立的，应当通知公安机关立案，公安机关接到通知后应当立案。这一条款虽然主要规定了检察院的监督职能，但也为控告人提供了通过检察院进行救济的途径。
《公安机关办理刑事案件程序规定（2020年修订本）》第一百七十八条、第一百七十九条：
- 第一百七十八条规定了公安机关对不予立案的决定应当制作不予立案通知书，并在三日以内送达控告人。
- 第一百七十九条则明确规定了控告人对不予立案决定不服的，可以在收到不予立案通知书后七日以内向作出决定的公安机关申请复议；公安机关应当在收到复议申请后三十日以内作出决定，并将决定书送达控告人。控告人对不予立案的复议决定不服的，还可以在收到复议决定书后七日以内向上一级公安机关申请复核。
《人民检察院刑事诉讼规则》第五百五十七条：
- 该条款规定了被害人及其法定代理人、近亲属或者行政执法机关，认为公安机关对其控告或者移送的案件应当立案侦查而不立案侦查，向人民检察院提出的，人民检察院应当受理并进行审查。这为控告人提供了向检察院申请救济的另一条途径。
二、复议程序的具体操作
申请复议：
- 控告人在收到不予立案通知书后，有权在规定时间内（七日以内）向作出决定的公安机关提出复议申请。
复议决定：
- 公安机关应在收到复议申请后的规定时间内（三十日以内）作出复议决定，并将决定书书面送达控告人。
申请复核：
- 若控告人对复议决定仍不服，可在收到复议决定书后的七日以内，向上一级公安机关申请复核。上一级公安机关应在三十日以内作出决定，特殊情况下可延长但不得超过三十日，并需书面告知申请人。
三、其他救济途径
除了申请复议外，控告人还可以考虑以下救济途径：
向人民检察院提出申请：
- 如认为公安机关应当立案而不立案，可向人民检察院提出申请，利用检察院的立案监督职能。
提起行政诉讼：
- 若经过复议、复核或向人民检察院申请后，公安机关仍未立案，控告人有权依法向人民法院提起行政诉讼，以司法途径维护自身权益。
四、综合建议
在申请复议时，控告人应确保提交的材料齐全、证据充分，以支持其复议请求。同时，控告人也可以考虑咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和指导。作为专业律师，我建议您在行使复议权利时，充分了解相关法律规定，并按照法定程序进行操作，以确保复议申请的有效性。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。