即使没有签订正式的劳动合同，只要存在事实上的劳动关系，劳动者依然有权申请工伤认定，并享受工伤保险待遇。针对您提出的问题，即员工没有劳动合同，只有工资条和工资发放银行卡记录，能否申请工伤认定，以下是我的详细解答：
一、法律依据与核心原则
根据《工伤保险条例》，中华人民共和国境内的各类组织（包括企业、事业单位、社会团体等）的职工和个体工商户的雇工，在因工作原因受到事故伤害或患职业病时，均有权享受工伤保险待遇。这一规定明确了工伤认定的基本范围，并未将劳动合同的签订作为必要条件，而是强调了“事实劳动关系”的存在。
二、证明劳动关系的材料
为了证明事实劳动关系的存在，您需要准备以下材料：
工资支付凭证或记录：
- 您提到的工资条和工资发放银行卡记录就是非常重要的证据。这些记录能够直接反映用人单位向您支付劳动报酬的情况，是证明劳动关系存在的有力证据。
其他辅助证据：
- 除了工资支付凭证外，您还可以提供其他能够证明劳动关系的材料，如工作证、服务证、招工招聘记录、考勤记录等。
- 如果可能的话，同事的证言也可以作为辅助证据，证明您在该单位工作。
三、申请工伤认定的流程
准备申请材料：
- 除了上述证明劳动关系的材料外，您还需要准备医疗机构出具的诊断证明、工伤认定申请表等其他相关材料。
提交申请：
- 将准备好的申请材料提交给用人单位所在地统筹地区的社会保险行政部门（通常是当地的人力资源和社会保障局）。
审核与调查：
- 社会保险行政部门会对提交的材料进行审核，并根据需要进行调查核实。在此过程中，用人单位、工会组织、医疗机构等应配合提供情况和证明材料。
作出认定决定：
- 社会保险行政部门一般会在自受理工伤认定申请之日起60日内作出工伤认定的决定。对于事实清楚、权利义务明确的申请，可能在15日内即作出决定。
四、注意事项与特别提醒
注意时效性：
- 工伤认定申请有时效性要求，通常从事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内都可以申请。因此，您应及时收集证据并提交申请。
保留证据原件：
- 在申请工伤认定过程中，您需要保留所有证据的原件，以备社会保险行政部门审核和调查时使用。
寻求法律帮助：
- 如果在申请工伤认定过程中遇到困难或问题，您可以及时向我咨询，我会根据您的具体情况提供法律帮助和建议。
总结来说，即使没有劳动合同，只要您能提供充分的证据材料证明劳动关系的存在，并按照规定的流程进行申请，您依然有权申请工伤认定并享受工伤保险待遇。如果您在申请过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。