结论：将车抵押给私人贷款后，若未签订合同且逾期车辆被卖掉，这一行为是否合法需分情况讨论，一般情况下，若贷款方无合法处置权，则其卖掉车辆的行为不合法。以下从不同角度进行分析：
一、合同缺失的法律影响
合同的重要性：
- 在抵押贷款关系中，合同是明确双方权利义务、抵押物处置方式等关键条款的法律文件。
- 缺乏合同，双方的权利义务将难以界定，一旦发生纠纷，将难以通过法律途径有效解决。
无合同情况下的法律风险：
- 若未签订抵押合同，贷款方可能无法证明其对车辆享有合法的抵押权。
- 在此情况下，贷款方擅自卖掉车辆可能构成对车辆所有权的侵犯，除非其能通过其他方式证明其享有合法的处置权。
二、贷款方擅自卖掉车辆的合法性分析
合法处置的前提：
- 贷款方若要合法处置抵押车辆，必须首先证明其对车辆享有合法的抵押权，且该抵押权已依法设立。
- 此外，贷款方还需按照法定程序进行处置，如通过协商、拍卖等方式，并确保处置过程公开、公平、公正。
擅自卖掉的法律后果：
- 若贷款方无法证明其享有合法的抵押权，或未按照法定程序处置车辆，其擅自卖掉车辆的行为可能构成违法。
- 车辆所有者有权要求贷款方返还车辆或赔偿损失，并可向相关部门投诉或提起诉讼。
三、应对建议
收集证据：
- 车辆所有者应尽快收集与贷款相关的所有证据，包括但不限于转账记录、聊天记录、证人证言等。
- 这些证据将有助于证明车辆所有者与贷款方之间的借贷关系，以及贷款方擅自卖掉车辆的事实。
与贷款方协商：
- 在收集到足够证据后，车辆所有者可以尝试与贷款方进行协商，要求其返还车辆或赔偿损失。
- 协商过程中，车辆所有者应保持冷静、理性，避免情绪化行为导致协商破裂。
寻求法律援助：
- 若协商无果，车辆所有者应及时寻求法律援助，向相关部门投诉或提起诉讼。
- 在此过程中，车辆所有者应咨询专业律师，了解自身权益和法律途径，确保自身权益得到有效维护。
四、法律依据
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，抵押权人在债务人不履行到期债务或者发生当事人约定的实现抵押权的情形时，有权与抵押人协议以抵押财产折价或者以拍卖、变卖该抵押财产所得的价款优先受偿。但此规定的前提是抵押权已依法设立，且处置过程需符合法定程序。
总结与建议：将车抵押给私人贷款后未签订合同且逾期车辆被卖掉的行为是否合法，需根据具体情况判断。若贷款方无法证明其享有合法的抵押权或未按照法定程序处置车辆，则其擅自卖掉车辆的行为可能构成违法。作为车辆所有者，您应尽快收集证据、与贷款方协商，并在必要时寻求法律援助以维护自身权益。如有进一步疑问或需要法律帮助，请直接向我咨询。