结论：职工非因公殉职的情况下，单位通常没有法律义务供养其父母至去世，但具体是否供养及供养方式需依据单位内部规定、双方协商或地方性政策来确定。
一、法律义务层面
从法律义务的角度来看，单位对非因公殉职职工的父母通常没有供养义务。根据我国现行法律法规，如《劳动法》、《社会保险法》等，并未规定用人单位在职工非因公死亡的情况下，需要承担供养其父母的责任。职工的供养亲属抚恤金等福利，一般是在职工因公死亡或符合特定条件（如工伤）时，由工伤保险基金或用人单位按照相关规定支付。
二、单位内部规定与双方协商
单位内部规定：
- 尽管法律没有明确规定，但一些单位可能会根据自身情况制定内部规定，对非因公殉职职工的家属提供一定的帮助或抚恤。这些规定可能因单位性质、规模、经济状况等因素而有所不同。
- 如果单位有此类规定，并且职工或其家属符合规定条件，那么单位可能会按照规定供养其父母至去世。
双方协商：
- 在没有法律义务和单位内部规定的情况下，职工家属与单位之间可以通过协商达成一致，由单位提供一定的供养或抚恤。
- 协商的内容可能包括供养的方式、期限、金额等，具体取决于双方的意愿和实际情况。
三、地方性政策与特殊情况
- 在某些地区或特定情况下，政府或相关部门可能会出台地方性政策，对非因公殉职职工的家属提供一定的帮助或抚恤。这些政策可能因地区而异，且通常具有一定的时效性和条件性。
- 如果职工或其家属符合地方性政策的条件，那么他们可能能够获得一定的供养或抚恤。
四、建议与后续行动
了解单位规定：
- 首先，建议职工家属了解所在单位是否有关于非因公殉职职工家属供养的相关规定。
与单位协商：
- 如果单位没有相关规定，或者规定不符合家属的期望，可以尝试与单位进行协商，看是否能够达成一致。
关注地方性政策：
- 同时，也可以关注当地政府或相关部门是否出台了相关的地方性政策，以获取更多的帮助和支持。
寻求法律援助：
- 如果在协商或申请过程中遇到困难或纠纷，建议寻求专业的法律援助或咨询，以维护自身的合法权益。
作为林嘉鑫律师，我建议您在处理此类问题时，务必保持冷静和理性，通过合法途径来维护自己的权益。如果您有任何具体的法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。