您工作六个月未签订劳动合同且被辞退，根据不同情况，可获得的补偿如下：
未签订劳动合同的双倍工资差额
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 计算公式：双倍工资差额 = 五个月工资（因您已工作六个月，扣除首月不计双倍，故为五个月）。
- 具体数额：需根据您实际领取的月工资标准计算，例如，若您月工资为5000元，则双倍工资差额为25000元。
违法解除劳动关系的赔偿金
- 若用人单位无合法理由辞退您，属违法解除劳动关系，应支付赔偿金。
- 赔偿标准：赔偿金为经济补偿标准的二倍。根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，工作六个月以上不满一年的，经济补偿按一年计算，即一个月工资。因此，赔偿金为两个月工资。
- 具体数额：同样需根据您实际领取的月工资标准计算，例如，若您月工资为5000元，则赔偿金为10000元。
补缴社会保险
- 用人单位未依法为您缴纳社会保险费，您可要求单位补缴在职期间的社保费用。
- 操作建议：收集能证明劳动关系的证据，如工资支付凭证、工作证、考勤记录等，与单位协商补缴事宜。若协商不成，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
行动建议：
- 收集证据：首先，务必收集能证明您与用人单位存在劳动关系的证据，这是后续维权的基础。
- 与单位协商：凭借收集的证据，与单位沟通协商，指出单位未签劳动合同和解雇行为可能违反法律规定，要求单位支付相应补偿。
- 申请劳动仲裁：若协商无果，可向当地劳动仲裁机构申请仲裁，提交仲裁申请书及相关证据，仲裁机构会依法审理。
- 提起诉讼：若对仲裁结果不满意，可在规定时间内向法院提起诉讼，通过司法途径解决纠纷。
风险提示：
- 在整个维权过程中，请保持冷静，依法依规主张权益，避免采取过激行为。
- 若用人单位提出私下和解，请务必谨慎考虑，确保和解协议内容合法、合理，并咨询专业律师意见后再做决定。
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