结论：员工工伤后要求私了而公司不同意的情况下，双方应首先明确工伤认定和赔偿的法定标准，通过协商、调解或法律途径解决争议。

一、工伤认定的法定程序

根据《工伤保险条例》及相关规定，员工发生工伤后，应首先进行工伤认定。这是确定工伤性质和赔偿范围的前提。公司作为用人单位，有义务在员工发生工伤后及时为其申请工伤认定。若公司未按时申请，员工或其近亲属、工会组织也可以在一年内直接向社会保险行政部门提出工伤认定申请。

法律建议：

• 公司应尽快为员工申请工伤认定，避免因拖延而承担不必要的法律责任。
• 员工也有权自行申请工伤认定，以保障自己的合法权益。

二、工伤赔偿的法定标准

工伤认定后，员工有权享受工伤保险待遇，包括医疗费、康复费、住院伙食补助费、交通食宿费、停工留薪期工资、护理费、一次性伤残补助金、伤残津贴、一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金等。这些赔偿项目和标准均有明确的法律规定，不是双方可以随意协商的。

法律建议：

• 公司应依据法定标准计算员工的工伤赔偿金额，避免因赔偿不足而引发纠纷。
• 员工也应了解自己的法定权益，确保获得的赔偿符合法律规定。

三、私了的法律风险

虽然双方可以协商解决工伤赔偿问题，但私了存在诸多法律风险。一方面，私了协议可能因违反法律强制性规定而无效；另一方面，私了后员工若发现赔偿不足或存在其他问题，仍可能通过法律途径追究公司的责任。

法律建议：

• 公司应谨慎对待私了请求，避免因私了而承担更大的法律风险。
• 若双方确实希望协商解决，建议在公司法律顾问或律师的指导下进行，确保协议内容合法有效。

四、争议解决途径

若双方无法就工伤赔偿达成一致，可以通过以下途径解决争议：

1. 调解：双方可以申请劳动争议调解组织进行调解，以达成和解协议。
2. 仲裁：若调解不成，员工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁裁决具有法律效力，双方应履行。
3. 诉讼：若对仲裁裁决不服，员工可以向人民法院提起诉讼。法院将依法审理并作出判决。

法律建议：

• 公司应积极参与调解和仲裁程序，争取通过非诉讼方式解决争议。
• 若必须通过诉讼解决，公司应做好应诉准备，包括收集证据、委托律师等。

五、后续行动建议

1. 公司：应尽快为员工申请工伤认定，并依据法定标准计算赔偿金额。同时，加强与员工的沟通，解释法定赔偿标准，争取达成和解。若无法和解，应积极参与调解、仲裁和诉讼程序。
2. 员工：应了解自己的法定权益，确保获得的赔偿符合法律规定。若公司拒绝赔偿或赔偿不足，可以通过法律途径维护自己的权益。

在处理工伤赔偿问题时，双方应保持冷静和理性，通过合法途径解决争议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。