结论前置：
- 若商家明知购买者为未成年人且未经家长同意，家长有权要求商家退款。
- 若商家不知情，但购买行为超出未成年人年龄和智力范围，家长仍可尝试通过协商、投诉、调解或诉讼等途径要求退款。
详细分析：
一、法律依据与民事行为能力
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，八周岁以上的未成年人为限制民事行为能力人，实施民事法律行为由其法定代理人代理或者经其法定代理人同意、追认；但是，可以独立实施纯获利益的民事法律行为或者与其年龄、智力相适应的民事法律行为。购买手机通常被视为超出未成年人年龄和智力范围的行为，特别是当涉及较大金额时。因此，若未经家长同意，该购买行为可被视为无效或可撤销。
二、商家责任与退款义务
商家明知情况：
- 若商家在销售过程中明知购买者为未成年人且未经家长同意，商家有责任确保交易得到法定代理人的同意。若未做到这一点并拒绝退款，商家将承担法律责任。
- 家长作为法定代理人，有权要求商家退还因孩子未经同意而购买的手机的全款。
商家不知情情况：
- 若商家在销售过程中不知情，但购买行为确实超出未成年人年龄和智力范围，家长仍可尝试与商家协商退款。
- 若商家拒绝退款，家长可向消费者协会或调解组织申请调解，或向市场监督管理局等行政部门投诉。
- 在极端情况下，家长还可考虑向法院提起诉讼，要求商家退款。
三、维权途径
与商家协商：
- 家长可首先尝试与商家进行友好协商，说明法律规定和孩子作为限制民事行为能力人的情况，要求退款。
向消费者协会或调解组织申请调解：
- 若协商无果，家长可向当地消费者协会或其他依法成立的调解组织申请调解。这些组织有专业的调解人员协助双方达成和解。
向行政部门投诉：
- 如调解仍不成功，家长可向市场监督管理局或消费者权益保护部门等行政部门投诉。行政部门将对商家的行为进行调查，并根据调查结果作出处理。
法律诉讼：
- 当上述途径均无法解决问题时，家长可考虑向法院提起诉讼。在诉讼过程中，需提供充分证据，如孩子的身份证明、购买凭证、与商家的沟通记录等。
四、注意事项
- 保留证据：在处理此类问题时，家长应保留好所有相关证据，包括购买凭证、聊天记录、退款申请记录等。这些证据在维权过程中将起到关键作用。
- 加强教育：家长应加强对孩子的教育，引导他们正确理解和使用金钱，避免类似情况的再次发生。
后续行动建议：
- 家长在发现孩子未经同意购买手机后，应首先与商家取得联系，说明情况并要求退款。
- 若商家拒绝退款或态度消极，家长可及时向消费者协会或调解组织申请调解，或向市场监督管理局等行政部门投诉。
- 在整个过程中，家长应保持冷静和理性，依法维护孩子的合法权益。
法律后果提示：
- 若商家拒绝退款且家长通过法律途径维权成功，商家可能需要承担退款责任，并可能面临行政处罚或民事赔偿。
- 若家长未能提供充分证据或法律途径选择不当，可能导致维权失败或效果不佳。
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