当租客合同到期却拖欠房租并拒绝搬走时，作为房东，您可以按照以下步骤来合法、有效地解决这一问题：
一、优先协商解决
直接沟通：
- 首先，尝试与租客进行面对面的友好沟通，了解其不搬离和拖欠房租的具体原因。
- 如果租客因暂时未找到新住所而请求宽限，您可以考虑给予一定的缓冲期，但应明确这是出于人道主义的考虑，并可与租客协商适当收取超期居住的费用。
发送书面通知：
- 若直接沟通无果，应向租客发送正式的书面通知，明确要求其在合理期限内支付拖欠的房租并搬离。
- 通知中应明确告知逾期不搬将产生的后果，如额外费用的产生、法律诉讼等。
- 此通知应通过可追踪的方式送达，如快递，并妥善保存相关证据，如邮寄回执、通讯记录等。
二、寻求第三方协助调解
居委会或物业介入：
- 若协商不成，可请房屋所在地的居委会或物业管理部门介入调解，利用其社区管理经验帮助解决纠纷。
人民调解委员会：
- 也可向当地的人民调解委员会申请调解，该机构会依法进行调解，并制作具有法律效力的调解协议书。
三、法律途径维权
发送律师函：
- 在协商和调解均无效的情况下，可考虑委托律师向租客发送律师函。
- 律师函将严肃指出租客的违约行为，并要求其在规定时间内搬离及承担违约责任。
提起诉讼：
- 若律师函仍未能促使租客搬离，您可向有管辖权的人民法院提起诉讼。
- 在诉讼中，需准备充分的证据，如租赁合同、书面通知、律师函、房屋产权证明、租金支付记录等，以支持您的主张。
申请强制执行：
- 若法院作出判决要求租客限期搬离，但其仍未履行，您可在法定期限内向法院申请强制执行。
- 法院将依法采取强制措施，如强制租客搬离、冻结银行账户等。
四、特殊情况处理
- 若您愿意继续出租房屋给租客，双方可协商续签租赁合同，并明确新的租赁期限、租金标准以及支付方式等条款。
- 若已丧失信任基础，不愿继续出租，应正式通知租客搬离。若租客接到通知后仍不搬离，则构成侵权，您可通过上述法律途径维权。
总结与建议
在处理此类问题时，请务必保持冷静和理智，遵循法律法规，通过合法合理的方式维护自己的权益。同时，及时固定和保存相关证据是至关重要的，以便在需要时有力地支持自己的主张。如有必要，可寻求专业法律人士的帮助以确保您的权益得到充分保护。