当遇到租客合同到期欠房租且不搬离的情况时，作为房东，您可以按照以下详细且有条理的步骤来处理这一问题，以维护自身的合法权益：
一、友好沟通与协商
提前提醒：在租赁合同到期前的一段时间（建议1-2周），通过书面或口头方式提醒租客合同即将到期，并询问其是否有续租的意向。
了解原因：若租客未按时搬离，主动与其沟通，了解其不搬的具体原因。可能是经济困难、寻找新住处有困难，或是对房屋有特殊情感依赖等。
协商解决方案：根据了解到的原因，与租客共同商讨解决方案。例如，如果是因为经济问题，可以考虑给予一定的宽限期，并明确宽限期限内的租金计算方式；如果是因为寻找新住处有困难，可以提供一些租房信息或推荐可靠的房产中介。
二、发送书面通知
正式催告：若沟通协商无果，向租客发送正式的书面搬离通知。通知中应明确指出租赁期限已经届满，要求租客在规定的时间内（如3-7天）搬离房屋，并告知逾期不搬将承担的法律后果，如支付逾期占用费、承担违约责任等。
保留送达证据：通过邮政特快专递（EMS）等方式寄送通知，并在快递单上注明文件名称，保留快递底单和查询记录作为送达证据。如果直接张贴通知，应拍照留存。
三、寻求第三方调解
基层调解组织：向当地居委会、村委会或人民调解委员会等基层调解组织寻求帮助。这些组织具有丰富的调解经验，可以促使双方达成和解协议。
房屋租赁管理部门：部分地区设有房屋租赁管理部门，可以向其反映情况并请求协助调解。
四、采取法律手段
发送律师函：若调解无效，可委托律师向租客发送律师函。律师函具有法律效力，能起到威慑作用，并表明通过法律途径解决问题的决心。律师函中应明确指出租客的违约行为、搬离期限及法律后果。
提起诉讼：若租客收到律师函后仍拒不搬离，可以向有管辖权的人民法院提起诉讼。诉讼时需提供租赁合同、书面通知、律师函、房屋现状照片或视频等证据，以证明租赁关系到期及租客逾期不搬的事实。诉讼请求可包括要求租客立即搬离、支付逾期占用费、承担违约责任及赔偿损失等。
申请强制执行：若法院判决胜诉而租客仍不履行搬离义务，可以在规定期限届满后向法院申请强制执行。法院将依法采取强制措施强制租客搬离，并可能追讨相关费用。
五、注意事项
保持冷静理性：在处理整个过程中，应保持冷静理性，避免与租客发生不必要的冲突。
合法合规：确保所有行为均符合法律法规要求，以免给自身带来法律风险。
保留证据：保留好所有相关证据和文件，如租赁合同、沟通记录、书面通知、律师函等，以备后续可能的法律程序之需。
报警处理：如果租客的行为严重影响到您的正常生活或对房屋造成了破坏，可以向公安机关报案。
通过以上步骤，您可以有效地应对租客合同到期欠房租且不搬离的问题，维护自身的合法权益。