可以起诉原单位，但需根据具体情况选择合适的维权路径。以下从不同角度为您详细分析：

1. 法律关系与责任认定

• 用人单位的法定义务：根据《劳动合同法》第五十条，用人单位在解除或终止劳动合同时，应当出具解除或终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。若未履行该义务，导致劳动者无法领取失业保险金、再就业受阻等经济损失，用人单位需承担赔偿责任。
• 因果关系证明：您需证明经济损失与原单位未出具证明之间存在直接因果关系。例如，因无证明导致新单位拒绝录用，或无法申请失业保险金等具体损失。

2. 维权路径选择

• 协商与投诉：
  1. 协商：可先与原单位沟通，要求其出具证明并赔偿损失。若单位配合，可快速解决问题。
  2. 投诉：若协商无果，可向当地劳动监察大队投诉（通常需在知道权利被侵害之日起2年内提出），要求行政机关责令单位改正并赔偿。
• 劳动仲裁：
  • 适用情形：若投诉未果，或需明确赔偿金额，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
  • 仲裁请求：可主张原单位出具证明，并赔偿因未出具证明导致的直接经济损失（如失业保险金损失、再就业工资差额等）。
  • 时效：需在知道或应当知道权利被侵害之日起1年内提出仲裁申请。
• 诉讼：
  • 直接起诉：若仲裁裁决未支持您的诉求，或您选择跳过仲裁直接起诉（需符合法定情形，如争议金额较小等），可向法院提起民事诉讼。
  • 诉讼材料：需准备劳动合同、解除通知、经济损失证明（如新单位拒录通知、失业保险金申领失败记录等）作为证据。

3. 经济损失的认定与赔偿

• 直接损失：包括因未出具证明导致的失业保险金损失、再就业工资差额、交通费、误工费等。需提供具体证据（如失业保险金申领记录、新单位录用通知、工资流水等）。
• 间接损失：如因长期失业导致的精神损害，通常难以获得支持，除非能证明单位存在恶意或重大过失。
• 赔偿计算：例如，若因未出具证明导致3个月无法就业，每月损失工资5000元，则可主张赔偿15000元，并需提供相应证据。

4. 实务建议

• 固定证据：保存与原单位的沟通记录（如邮件、短信）、经济损失证明（如失业保险金申领失败记录、新单位拒录通知）等。
• 优先仲裁：劳动争议通常需先经过仲裁程序，对仲裁结果不服的，再向法院起诉。
• 及时行动：注意仲裁和诉讼的时效限制，避免因超时丧失维权机会。

总结：若原单位未出具解除劳动合同证明导致您经济损失，您可通过协商、投诉、仲裁或诉讼等途径维权。建议优先与单位协商或向劳动监察部门投诉，若未果，再申请劳动仲裁并准备充分证据。如有进一步疑问，可直接向我咨询。