针对您提出的“兼职协议到期没续签继续上班合法吗”这一问题，我的分析如下：

1. 协议到期未续签的法律性质：

   • 兼职协议本质上是一种合同关系，当协议到期且双方未续签时，原协议的法律效力即告终止。但这并不意味着兼职者与用人单位之间的法律关系完全消失，特别是当兼职者继续在用人单位工作时，双方实际上形成了一种新的、事实上的劳动关系或劳务关系。

2. 继续上班的法律后果：

   • 若视为劳动关系：根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，如果兼职者被视为劳动者，且用人单位未与其签订新的劳动合同，用人单位可能需要承担支付二倍工资的法律责任。但需注意，兼职关系是否构成劳动关系需根据具体情况判断，如工作时间、工作性质、管理方式等。
   • 若视为劳务关系：在劳务关系中，双方的权利义务主要依据口头或书面的约定来确定。如果兼职协议到期后，双方未续签但继续履行原协议内容，且没有新的约定，那么双方应继续按照原协议（或实际履行情况）来履行各自的权利义务。此时，用人单位无需支付二倍工资，但应确保兼职者的劳动报酬、工作条件等符合约定或法律规定。

3. 法律建议：

   • 对于兼职者：建议兼职者在协议到期前与用人单位沟通续签事宜，明确双方的权利义务。如果继续工作但未续签协议，应保留好工作记录、工资支付凭证等证据，以备不时之需。
   • 对于用人单位：建议用人单位在兼职协议到期前及时与兼职者沟通续签或终止事宜，避免形成事实上的劳动关系或劳务关系而未明确双方权利义务的情况。如果继续使用兼职者，应尽快签订新的协议或明确双方的权利义务。

4. 注意事项：

   • 兼职关系的法律性质可能因具体情况而异，需根据工作时间、工作性质、管理方式等因素综合判断。
   • 在处理兼职关系时，双方应遵守诚实信用原则，明确各自的权利义务，避免产生不必要的纠纷。

综上所述，兼职协议到期没续签继续上班是否合法，需根据具体情况判断兼职关系的法律性质。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。