针对您提出的“劳动合同到期后未续签但继续用工，最迟应何时补签”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
首先，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，当劳动合同到期后，若用人单位与劳动者未续签书面劳动合同但劳动者继续工作，法律上通常视为双方按原合同条件继续履行劳动关系。然而，为了避免潜在的法律风险和纠纷，明确劳动关系并补签书面劳动合同是至关重要的。
关于补签劳动合同的最迟时间：
双倍工资支付期间：
- 自劳动合同期满次日起，若用人单位超过一个月不满一年未与劳动者续签书面劳动合同，则用人单位需向劳动者每月支付两倍的工资。这一期间从合同期满后满一个月的次日开始计算，直至补订书面劳动合同的前一日。
视为订立无固定期限劳动合同的时间点：
- 若用人单位自劳动合同到期后满一年仍未与劳动者续签书面劳动合同，则法律上视为双方已订立无固定期限劳动合同。此时，用人单位应立即补订书面劳动合同，并按照无固定期限劳动合同的规定履行相关义务。
综合建议：
- 及时沟通与协商：用人单位应与劳动者保持及时沟通，明确续签意愿，并尽快协商签订新的劳动合同。这有助于避免因未续签合同而产生的法律风险和纠纷。
- 遵守法律规定：用人单位在处理此类情况时，应严格遵守相关法律法规，不得随意辞退员工或降低劳动合同约定条件续订，以免承担不必要的法律责任。
- 劳动者权益保护：劳动者应了解自身在劳动合同续签过程中的权利，如要求续签劳动合同、主张经济补偿并离职等。在发生争议时，劳动者可通过协商、申请劳动仲裁或提起诉讼等途径维护自身权益。
综上所述，劳动合同到期后未续签但继续用工的情况下，用人单位最迟应在自劳动合同期满次日起满一年时与劳动者补签书面劳动合同。若在此期间内未补签，则用人单位需承担支付双倍工资等法律责任。因此，建议双方及时沟通、明确意愿，并尽快采取合适措施明确劳动关系。