员工完全有权主动提出签订劳动合同的要求，且用人单位有法律责任在用工之日起一个月内与员工订立书面劳动合同。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：
法律明确规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，建立劳动关系时，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系但未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。这意味着，用人单位在员工入职后的一个月内必须与其签订书面劳动合同，否则将违反法律规定。
员工权益保障：
- 签订劳动合同是员工确保自身权益的重要步骤。通过劳动合同，员工可以明确自己的工作内容、工作时间、劳动报酬、社会保险、福利待遇等核心权利义务事项。这不仅有助于双方建立清晰、稳定的劳动关系，还在发生劳动纠纷时为员工提供了明确的法律依据。
用人单位责任：
- 如果用人单位在用工之日起一个月内未与员工订立书面劳动合同，从第二个月起，用人单位需向员工支付双倍的工资，这一规定最多持续11个月。此外，若用人单位拒绝或拖延签订劳动合同，员工还有权解除劳动关系，并要求用人单位支付相应的经济补偿。
员工主动提出签订合同的建议：
- 员工在发现用人单位未依法签订劳动合同时，应主动向用人单位提出签订劳动合同的要求，并明确表达希望尽快完成合同签订的意愿。同时，员工可以采取书面形式提出这一要求，并妥善保留相关证据，如邮件记录、短信通知、录音资料等，以备不时之需。
后续维权措施：
- 如果用人单位无视员工的合理要求，拒绝或拖延签订劳动合同，员工可以向当地的劳动监察部门投诉举报，或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位支付未签订劳动合同期间的双倍工资差额。若对仲裁结果不满意，员工还可以向人民法院提起诉讼，进一步维护自己的合法权益。
综上所述，员工在上班一个月后未签订劳动合同的情况下，完全有权主动提出签订劳动合同的要求，并应当积极维护自己的合法权益。用人单位也有责任按照法律规定与员工订立书面劳动合同，共同构建和谐稳定的劳动关系。如有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。