双方私下签订的还款协议不能直接申请司法确认。具体分析如下：

一. 还款协议的性质与司法确认的要求

1. 还款协议的性质：还款协议属于民事合同的范畴，是双方当事人就还款事项达成的约定。
2. 司法确认的要求：根据《中华人民共和国人民调解法》第三十三条及新修改后的《中华人民共和国民事诉讼法》第194、195条，司法确认通常适用于经人民调解委员会调解达成的调解协议，且需要双方当事人共同向人民法院提出申请。

二. 私下签订的还款协议与司法确认的匹配性

1. 私下签订：私下签订的还款协议并未经过人民调解委员会的调解，因此不符合司法确认的初步条件。
2. 共同申请的要求：司法确认需要双方当事人共同提出申请，而问题中并未提及双方有共同申请的意愿或行为。

三. 实际案例的参考

• 以吴某与李某的私下调解协议为例，由于该协议是私下达成，没有依据人民调解法等相关规定进行，因此不能申请司法确认。如果法院受理了此类申请，可能会面临一方当事人反悔或不到庭的情况，造成司法资源的浪费。

综上所述，双方私下签订的还款协议不能直接申请司法确认。如双方希望该协议具有更强的法律效力，建议通过诉讼或申请支付令等方式来寻求法院的确认和执行。如有进一步需要，您可以继续咨询我。