因存在重大事故隐患被依法责令停产停业而拒不执行处罚，可能会面临严重的法律后果，包括罚款、拘役甚至刑事责任。

具体来说：

1. 行政处罚：

   • 根据《中华人民共和国安全生产法》第一百零二条，生产经营单位未采取措施消除事故隐患的，责令立即消除或者限期消除，并处五万元以下的罚款。
   • 若生产经营单位拒不执行，责令停产停业整顿，并对其直接负责的主管人员和其他直接责任人员处五万元以上十万元以下的罚款。

2. 刑事责任：

   • 根据《中华人民共和国刑法》第一百三十四条之一，若因存在重大事故隐患被依法责令停产停业、停止施工、停止使用有关设备、设施、场所或者立即采取排除危险的整改措施，而拒不执行，且构成危险作业罪，将处一年以下有期徒刑、拘役或者管制。

例如，某木业有限公司因存在重大安全隐患被责令停产停业，但公司实际控制人吴某某为赶工期，擅自开工生产，且拒不执行停产停业的决定。最终，吴某某因犯危险作业罪被判处拘役三个月，缓刑三个月。

因此，对于存在重大事故隐患的生产经营单位，应严格按照相关法律法规和监管部门的要求，及时采取措施消除隐患，确保生产安全。若拒不执行停产停业的处罚决定，不仅可能面临高额的罚款，还可能承担刑事责任。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。