对于餐饮店使用不可降解塑料袋哪个部门处罚的问题，我可以明确告诉你：由县级以上人民政府市场监督管理部门进行处罚。

具体来说，根据《海南经济特区禁止一次性不可降解塑料制品规定》的相关规定，餐饮店等经营者不得使用或提供使用禁止名录内的一次性不可降解塑料制品。若违反此规定，由县级以上人民政府市场监督管理部门责令改正，并可能面临没收一次性不可降解塑料制品以及罚款等行政处罚。这一规定在多个行政处罚决定书中得到了体现，如海口市市场监督管理局龙华分局和海口市市场监督管理局美兰分局的行政处罚决定书均对此有明确的表述。

因此，如果餐饮店使用了不可降解塑料袋，将可能受到市场监督管理部门的处罚。建议餐饮店经营者遵守相关法律法规，使用可降解或符合规定的塑料制品，以避免不必要的法律风险。