外国人非法就业的管理部门主要是公安机关。具体来说，根据中国的相关法律法规，外国人在中国境内就业，必须按照规定取得工作许可和工作类居留证件。如果外国人未按照规定取得相关证件而在中国境内非法就业，将由公安机关依法进行处理。

在处理外国人非法就业问题时，公安机关会依据相关法律法规进行调查，并根据具体情况采取相应的法律措施，包括但不限于罚款、拘留、遣送出境等。同时，公安机关也会加强对外国人就业市场的监管，打击非法中介和雇佣单位，维护外国人就业市场的秩序。

因此，对于外国人非法就业的问题，应该由公安机关进行管理和处理。如果你有相关法律问题或需要进一步的法律咨询，可以直接向我提问，我会为你提供专业的法律帮助。