在特定情况下，孩子爷爷有权起诉孩子母亲要求支付抚养费，但这通常限于父母死亡、无抚养能力或下落不明等特殊情形。
一、抚养责任的一般原则
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对未成年子女或不能独立生活的成年子女负有法定的抚养义务。这是抚养责任的基本原则，即父母是首要的抚养义务人。
二、爷爷起诉抚养费的特殊情形
父母一方死亡：
- 如果孩子的父亲已经死亡，且孩子实际由爷爷照顾抚养，同时孩子的母亲未履行抚养义务，那么爷爷在承担了本应由孩子父母承担的抚养费用后，有权以孩子的名义向孩子的母亲主张抚养费。
父母无力抚养：
- 若孩子的母亲因疾病、残疾、失业等原因无力抚养子女，而孩子实际上由爷爷抚养，爷爷同样可以依据实际情况，起诉要求孩子的母亲支付抚养费。
母亲下落不明：
- 在孩子的母亲下落不明，无法履行抚养责任，且孩子由爷爷实际抚养的情况下，爷爷也有权提起诉讼，要求孩子的母亲承担抚养费用。
三、法律建议与注意事项
- 爷爷在起诉前，应尽可能收集并整理好相关证据，如孩子的抚养情况、母亲的抚养能力、下落不明或无力抚养的证据等，以确保诉讼的顺利进行。
- 若符合特殊情形之一，建议爷爷寻求法律援助或咨询专业律师（如我），以便更准确地了解自己的权利和义务，以及如何通过法律途径维护自己和孩子的合法权益。
- 同时，也可以尝试通过家庭协商或调解的方式解决抚养费问题，以避免不必要的法律纠纷，保持家庭关系的和谐与稳定。
综上所述，孩子爷爷在特定情况下确实有权起诉孩子母亲要求支付抚养费，但这一权利的行使需严格遵循法律规定，并确保证据的充分性和合法性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。