政府机关合同工在特定情况下是会被辞退的。辞退时需严格遵循相关法律法规，确保合法性和正当性，并依法给予劳动者经济补偿及可能的失业保险金补偿。以下是对这一问题的详细分析：

一、常见的辞退情形

政府机关合同工可能因以下情形被辞退：

1. 基于合同约定的辞退：若合同中明确规定了工作表现、纪律等具体要求，合同工未达到这些标准时，政府机关可依据合同条款辞退。

2. 因工作需要的辞退：当政府机关职能调整或工作任务完成导致岗位不再需要时，可对合同工进行辞退。

3. 违反法律法规或规章制度的辞退：

   • 严重违反用人单位规章制度。
   • 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害。
   • 被依法追究刑事责任。

4. 试用期考核不合格的辞退：试用期内若合同工被证明不符合录用条件，政府机关可予以辞退。

5. 其他特定情形：

   • 患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作。
   • 同时与其他用人单位建立劳动关系，严重影响本单位工作任务，或拒不改正。
   • 使用欺诈、胁迫手段或乘人之危订立或变更劳动合同，致使合同无效。

二、辞退程序与经济补偿

1. 辞退程序：政府机关辞退合同工需提前通知本人，说明辞退理由，并按法律法规和合同约定处理后续事宜。

2. 经济补偿：根据《中华人民共和国劳动合同法》规定，经济补偿按工作年限计算，具体为：

   • 每满一年支付一个月工资。
   • 六个月以上不满一年按一年计。
   • 不满六个月支付半个月工资。
   • 若月工资高于地区上年度职工月平均工资三倍的，按三倍数额支付，最高不超过十二年。
   • 用人单位违法解除或终止劳动合同的，应支付双倍经济补偿。

三、失业保险金补偿

依据《中华人民共和国社会保险法》，失业人员符合以下条件可从失业保险基金中领取失业保险金：

• 失业前用人单位和劳动者已缴纳失业保险费满一年。
• 非因劳动者本人意愿中断就业。
• 劳动者已进行失业登记并有求职要求。

失业保险金的数额由所在地类区失业保险金标准和领取月份数决定，累计缴费时间越长，领取期限也相应增长，最长可达二十四个月。

综上所述，政府机关合同工在特定情况下是会被辞退的，且辞退时必须严格遵守相关法律法规，确保辞退行为的合法性和正当性，并依法给予劳动者相应的经济补偿和失业保险金补偿。如有任何具体法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。