妨害公务罪最长拘留时间为37天。以下是对此结论的详细解释：
一、拘留期限的法律依据
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关在认为有必要的情况下，可以对涉嫌妨害公务罪的嫌疑人进行刑事拘留。拘留后的提请审查批准逮捕以及人民检察院的决定时间，共同构成了拘留期限的法律依据。
二、不同情况下的拘留期限
一般情况：
- 公安机关在拘留后的三日以内，应提请人民检察院审查批准逮捕。
- 人民检察院应在七日以内作出决定。
- 因此，一般情况下拘留期限为10天（3天+7天）。
特殊情况：
- 在案情复杂或需要进一步调查的情况下，公安机关提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
- 此时，拘留期限变为14天（3天+4天+7天）。
流窜作案、多次作案、结伙作案情况：
- 对于这类重大嫌疑分子，公安机关提请审查批准的时间可以延长至三十日。
- 加上人民检察院的审查时间，最长拘留时间为37天（30天+7天）。
三、拘留期限届满后的处理
- 拘留期限届满后，检察院会作出是否批准逮捕的决定。
- 如果不批准逮捕，公安机关应立即释放被拘留人。
- 如果批准逮捕，案件将进入后续的侦查、审查起诉和审判程序。
四、重要提示
- 刑事拘留并不等同于最终定罪，最终的定罪需由人民法院经过审判确定。
- 被拘留人有权申请取保候审、聘请律师提供法律帮助等，以保障自己的合法权益。
综上所述，妨害公务罪最长拘留时间为37天，但具体拘留期限会根据案件情况和法律规定有所变化。在整个过程中，应严格遵守法律程序，确保当事人的合法权益得到保障。如果您或您身边的人面临类似问题，可以直接向我咨询，我会提供专业的法律帮助。