涉嫌妨碍公务罪被刑事拘留的期限，一般来说是14天，但在特殊情况下可以延长至37天。下面我详细为您解释：

1. 一般情况下：刑事拘留的期限通常为14天。在此期间，公安机关会对被拘留的人进行调查，并决定是否提请人民检察院审查批准逮捕。

2. 特殊情况下：如果案件情况复杂，或者涉及流窜作案、多次作案、结伙作案等重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至30天。加上人民检察院审查批准的时间（7天），最长拘留期限可以达到37天。

3. 拘留后的处理：

   • 如果人民检察院批准逮捕，那么被拘留的人将继续被羁押，等待法院的审判。
   • 如果人民检察院不批准逮捕，公安机关应当立即释放被拘留的人，或者根据情况变更强制措施（如取保候审、监视居住等）。

4. 法律依据：这一规定主要依据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，确保了公安机关在侦查案件时有足够的时间进行调查，同时也保障了被拘留人的合法权益。

因此，涉嫌妨碍公务罪被刑事拘留的期限并不是固定的，而是根据案件的具体情况和法律规定来决定的。如果您或您的亲友面临这样的情况，建议及时咨询专业律师，以便更好地了解相关法律规定和权益保障。