妨害公务罪刑事拘留的天数并非固定，而是根据案件具体情况及司法程序进展来决定，最长可达37天。以下是对该问题的详细解析：

1. 一般情形下的拘留期限：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条的规定，公安机关对被拘留的人，若认为需要逮捕，应在拘留后的三日以内提请人民检察院审查批准。人民检察院则需在接到提请批准逮捕书后的七日以内作出决定。
   • 时间计算：因此，在一般情形下，刑事拘留的最长期限为3（公安提请时间）+ 7（检察院审查时间）= 10天。

2. 特殊情形下的拘留期限延长：

   • 在特殊情况下，如案情复杂或需要进一步调查，公安机关提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
   • 时间计算：此时，加上人民检察院审查批准的7天时间，刑事拘留的期限最长可延长至14天（3天基础时间 + 1-4天延长时间 + 7天检察院审查时间）。

3. 流窜作案、多次作案、结伙作案情形下的拘留期限：

   • 对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，公安机关提请审查批准的时间可以延长至三十日。
   • 时间计算：再加上人民检察院作出批准逮捕决定的7天时间，刑事拘留的最长期限为37天（30天公安机关提请时间 + 7天检察院审查时间）。这是刑事拘留可能达到的最长期限。

4. 拘留期限届满后的处理：

   • 若人民检察院不批准逮捕，公安机关应立即释放犯罪嫌疑人，或依法变更为其他强制措施，如取保候审、监视居住等。
   • 若检察院批准逮捕，案件将进入后续的侦查、起诉和审判阶段。被逮捕人会继续被羁押，直至法院作出判决。若被判有罪，羁押时间会折抵刑期；若被判无罪或免予刑事处罚，则会立即释放。

5. 法律建议：

   • 刑事拘留是一种严厉的强制措施，会对犯罪嫌疑人的人身自由进行限制。因此，在执行过程中必须严格遵守法律规定，确保犯罪嫌疑人的合法权益得到保障。
   • 若您或您身边的人面临妨害公务罪的刑事拘留情况，建议尽快向我咨询，以便更好地了解自己的权利和义务，并寻求合适的法律帮助。

综上所述，妨害公务罪刑事拘留的天数并非一成不变，而是根据案件的具体情况和司法程序的需要而定。在面对此类情况时，及时寻求专业的法律支持是至关重要的。