老板在开除员工后到处宣扬员工被开除的事情，确实可能承担一定的责任。下面我从法律角度为您详细分析：

1. 名誉权侵权：

   • 根据《民法典》的相关规定，公民享有名誉权，禁止用侮辱、诽谤等方式损害公民的名誉。老板如果无故散布员工被开除的消息，且该消息对员工的社会评价造成了负面影响，那么老板的行为可能构成名誉权侵权。
   • 在这种情况下，员工有权要求老板停止侵权行为，消除影响，并可能要求赔偿损失。

2. 劳动合同解除的合法性：

   • 老板开除员工的行为本身也需要符合劳动法的规定。如果老板没有合法的解除理由或者没有按照法定的程序解除劳动合同，那么员工可以主张老板违法解除劳动合同，并要求相应的经济补偿。

3. 建议与措施：

   • 如果员工认为老板的行为侵犯了自己的名誉权，可以首先尝试与老板进行协商，要求老板停止侵权行为并赔礼道歉。
   • 如果协商无果，员工可以收集相关证据（如聊天记录、证人证言等），向当地劳动监察部门投诉或者提起民事诉讼，维护自己的合法权益。
   • 同时，如果老板开除员工的行为存在违法之处，员工也可以向劳动仲裁委员会提起劳动仲裁，要求老板支付经济补偿。

综上所述，老板在开除员工后到处宣扬员工被开除的事情，可能构成名誉权侵权，并且如果解除劳动合同的行为不合法，还需要承担相应的法律责任。员工可以根据具体情况采取相应的法律措施来维护自己的权益。如果您有进一步的法律问题或者需要详细的法律帮助，请直接向我咨询。