吃完饭商家不给开发票，您可以采取以下步骤来处理这个问题：

首先，尝试与商家沟通，明确表达您需要开具发票的需求，并了解商家不给开发票的具体原因。有时候，商家可能由于某些临时的技术或人员问题，无法立即开具发票，此时您可以询问商家何时能够开具，并保留好您的消费凭证，如小票或收据，以备后续需要。

如果商家拒绝开具发票或无法给出合理的解释和明确的开具时间，您可以拨打税务部门的投诉电话“12366”进行投诉。在投诉时，您需要提供详细的消费信息，包括商家的名称、地址、消费时间以及消费金额等，并保留好您的消费凭证作为证据。税务部门在接到投诉后，会进行调查处理，并尽快给您反馈处理结果。

关于投诉处理时效，虽然有时候可能会因为各种原因导致处理速度较慢，但税务部门一般都会尽快处理并给出答复。如果您对处理结果不满意，可以进一步向相关部门反映或寻求法律援助。

此外，为了避免类似情况的发生，建议您在消费前了解商家的发票开具情况，选择正规、信誉良好的商家进行消费。同时，您也可以向身边的亲朋好友宣传发票的重要性，提高大家的维权意识，共同维护良好的消费环境。