员工提出辞职后生病的，劳动合同不需顺延，除非公司与员工协商一致。下面我对这一问题进行详细分析：

一. 提出辞职后劳动合同何时解除

1. 根据《劳动合同法》第37条，员工试用期内提前3天通知公司，或试用期满后提前30天以书面形式通知公司，就可单方解除劳动合同。本案中，员工在2024年8月1日提出辞职，并明确做到2024年8月底，且公司也批准同意，因此劳动合同于2024年8月31日解除。
2. 假设员工提出辞职时未明确最后工作日，如公司与员工能协商一致，则以协商一致的日期作为解除日期；如无法协商一致，需待3天或30天期满，劳动合同才解除。

二. 辞职员工是否享受医疗期保护

1. 根据《劳动合同法》第45条，当劳动合同在医疗期内到期时，公司不得以劳动合同期满为由终止劳动合同，需将劳动合同进行顺延处理。但这一规定并不适用于员工主动提出辞职的情况。
2. 员工提出辞职后生病的，除非公司与员工协商一致将解除劳动合同的时间往后顺延，否则解除时间无需往后延。
3. 辞职员工在医疗期内仍受到医疗期的保护，公司不能依据《劳动合同法》第40条所列情形为由解除劳动合同。但这一保护并不改变劳动合同因员工辞职而解除的事实。

我建议：在本案例中，员工与公司之间的劳动合同于2024年8月30日因员工提出辞职而解除，公司无需将劳动合同进行顺延处理。同时，员工在2024年8月20日至2024年8月30日期间申请休病假，公司应向员工发放病假工资，并在此期间内保障员工的医疗期权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。