关于公职人员犯罪后哪些情形可以不开除的问题，根据《中华人民共和国公职人员政务处分法》的相关规定，以下四种情形可以不予开除：
过失犯罪且情节较轻：公职人员因过失导致犯罪，且情节显著轻微，未造成严重后果的，可以考虑不予开除。这种情况下，公职人员的行为虽然触犯了法律，但主观恶性较小，且未造成严重后果，因此有保留公职的可能性。
主动交代并配合调查：公职人员在案发后能够主动交代自己的罪行，积极配合调查，有悔罪表现的，也是不予开除的重要考量因素。这种态度表明公职人员认识到自己的错误，并愿意承担责任，这有助于案件的顺利查处和后续处理，因此也可以考虑保留其公职。
案件特殊情况：某些特殊类型的案件，如涉及国家安全、外交等敏感领域，或者案件本身具有复杂性、特殊性，需要综合考虑多种因素来决定是否开除公职人员。在这些情况下，监察机关会审慎评估开除公职可能带来的社会影响和政治后果，若认为保留公职更为恰当，则可以不予开除。
其他法定情形：根据相关法律法规的规定，还存在其他可以不予开除的情形。这些情形通常涉及到公职人员的个人情况、案件的具体情况以及社会公共利益等多方面因素的权衡。若公职人员符合这些法定情形，也可以考虑不予开除。
需要注意的是，虽然上述情形可以不予开除，但并非绝对。在具体案件中，还需要根据公职人员的行为性质、情节轻重、社会影响等因素进行综合评估。同时，对于不予开除的公职人员，也应依法给予相应的政务处分，以体现法律的威严和公正。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。