生病期间没有病假条公司不可以直接辞退员工。具体分析如下：
从劳动法层面来讲，员工因病无法工作时，享有病假的权益。即便员工没有提交病假条，但如果事后能够补充证据（如医院的诊断证明）来证实自己确实生病，那么公司直接将其辞退就构成了违法解除劳动合同。这是因为，员工在生病期间，公司理应给予一定的理解与包容，并遵循相关法律法规关于病假的规定。
然而，也有一些特殊情况需要注意：
员工无法证明生病事实：如果员工没有病假条，也无法通过其他方式证明自己生病的事实，同时公司的规章制度明确规定这种情形视为旷工，并且旷工的情况已经严重违反了规章制度（比如连续旷工好几天等），那么公司可以依照规章制度来辞退员工。但前提是，该规章制度必须是经过民主程序制定的，并且已经向员工进行了公示告知。
员工违反请假流程：如果用人单位有明确的规章制度规定了请假流程，而员工没有遵守，这也属于违反规章制度。但此时是否辞退员工，需要考量违规的程度。如果员工只是初犯，并且没有给单位造成重大损害，用人单位直接辞退的话，就可能构成违法解除劳动合同。
综上所述，公司在处理员工生病期间没有病假条的情况时，应谨慎对待，遵循相关法律法规和规章制度，确保不侵犯员工的合法权益。如果员工确实生病且能够提供相关证据，公司应给予理解和支持，而不是直接辞退。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。