当工厂倒闭并导致员工需要请假两个月时（这里假设是指工厂倒闭后员工失业的情况，因为实际请假与工厂倒闭的直接关联可能需具体情境来明确），员工的赔偿问题主要依据《劳动合同法》及相关法律法规来处理。以下是关于赔偿问题的详细解答：

1. 经济补偿金：

   • 根据《劳动合同法》，工厂倒闭（即被依法宣告破产、吊销营业执照、责令关闭、撤销或决定提前解散）时，劳动合同终止。
   • 工厂应向员工支付经济补偿金，计算方式如下：按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。

2. 拖欠工资与加班费：

   • 如果工厂存在拖欠员工工资、加班费或其他应付款项的情况，员工有权要求工厂在清算过程中优先支付这些款项。

3. 清算程序：

   • 工厂倒闭后，应按照法定程序进行清算。在清算财产时，应优先支付员工的工资、经济补偿金等费用。

4. 协商与仲裁：

   • 员工可以与工厂进行协商，明确赔偿事宜。如果协商不成，员工可以通过劳动仲裁等法律途径来维护自己的权益。
   • 在申请劳动仲裁时，员工需要准备好相关证据，如劳动合同、工资条、工作证等，以证明自己的工作年限、工资情况及工厂拖欠的款项等。

5. 特殊注意事项：

   • 如果工厂倒闭是由于某些特定原因（如自然灾害、不可抗力等）导致的，并且这些原因在劳动合同中有明确约定，那么可能会影响到经济补偿金的支付。
   • 员工在失业期间可以关注当地劳动部门或社保机构的相关政策，了解是否有失业救济金或其他补助可以申请。

综上所述，当工厂倒闭导致员工失业时，员工应根据《劳动合同法》及相关法律法规来维护自己的权益。如果工厂未能按照法律规定支付经济补偿金或其他应付款项，员工可以通过协商或仲裁等途径来寻求帮助和解决方案。