作为项目部经理，你垫付了工程项目部管理人员的工资，且转包方未与你签订劳动合同，这是一个涉及劳动工伤和合同纠纷的复杂问题。以下是我对你的问题的全面分析：
结论前置
- 你与转包方之间可能存在事实劳动关系，但缺乏书面劳动合同：尽管没有签订书面劳动合同，但如果你实际上为转包方提供了劳动，并接受其管理，则可能构成事实劳动关系。
- 你有权要求转包方支付你垫付的工资：作为项目部经理，你垫付工资的行为可能构成对转包方的债权，你有权要求其偿还。
- 你应尽快采取法律措施保护自己的权益：包括但不限于与转包方协商、向劳动监察部门投诉、提起劳动仲裁或诉讼等。
详细分析
事实劳动关系的认定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。即使未签订书面劳动合同，如果实际上你为转包方提供了劳动，并接受其管理，且转包方向你支付了劳动报酬（或你垫付了工资），则可能构成事实劳动关系。
- 在这种情况下，你享有劳动法规定的各项权益，包括但不限于工资、福利、社会保险等。
垫付工资的处理：
- 你垫付工资的行为可能构成对转包方的债权。你有权要求转包方偿还你垫付的工资，并可能要求支付相应的利息或赔偿损失。
- 如果转包方拒绝偿还，你可以通过法律途径追讨，包括但不限于提起民事诉讼或劳动仲裁。
法律措施的建议：
- 与转包方协商：首先尝试与转包方进行协商，明确双方的权利和义务，包括垫付工资的处理方式。
- 向劳动监察部门投诉：如果协商无果，你可以向当地的劳动监察部门投诉，要求其介入调查并处理。
- 提起劳动仲裁或诉讼：如果上述措施均无法解决问题，你可以考虑提起劳动仲裁或诉讼，通过法律途径维护自己的权益。
注意事项
- 在采取任何法律措施之前，请确保收集并保存好所有相关的证据，包括但不限于工作记录、工资支付记录、垫付工资的凭证等。
- 如果你对法律程序不熟悉，建议咨询专业的律师或法律援助机构，以获取更具体的法律建议和帮助。
作为殷翰卿律师，我专注于海事商事、涉外法律、合同纠纷等领域。如果你有任何进一步的问题或需要更详细的法律建议，请随时向我咨询。