关于您提出的“对方交了定金，项目也启动，但没签订合同，因当事人董事长突发疾病死亡，定金如何处理”的问题，以下是我的详细解答：
首先，结论上，定金的处理取决于多个因素，包括定金的性质、双方是否已形成事实合同关系、以及董事长的死亡是否影响合同的履行等。
定金的性质：
- 如果定金是作为合同订立的担保，且双方明确约定了定金罚则（如一方违约则定金不予退还或双倍返还），那么在没有签订合同的情况下，定金的处理将依据双方的约定。
- 如果定金只是作为预付款或诚意金，并未明确约定定金罚则，那么其处理将更多地依赖于双方的事实行为及后续协商。
是否形成事实合同关系：
- 尽管双方没有签订书面合同，但如果已经实际履行了合同的主要义务（如项目已经启动），并且对方接受，那么根据《民法典》的相关规定，可以视为双方已经形成了事实合同关系。在这种情况下，定金的处理将遵循合同法的相关规定。
董事长的死亡对合同履行的影响：
- 如果董事长的死亡导致合同无法继续履行（如公司因此解散或项目因此终止），那么双方可能需要协商解除合同，并处理定金等相关事宜。
- 如果董事长的死亡并不影响合同的履行（如公司有完善的接班人机制或项目可以继续进行），那么定金的处理将按照合同或事实合同关系的约定进行。
建议处理方案：
- 首先，双方应尽快进行沟通，明确定金的性质及双方的权利义务关系。
- 如果双方已经形成了事实合同关系，应依据合同法的相关规定处理定金问题。
- 如果因董事长的死亡导致合同无法履行，双方应协商解除合同，并就定金等事宜达成一致意见。
- 如果无法协商解决，可以寻求法律途径解决争议。
总之，定金的处理需要根据具体情况进行协商和判断。如果您需要更详细的法律建议或帮助，请随时向我咨询。