公司可以通过向公安机关报案、追究经理的法律责任以及采取民事诉讼等方式维权。针对这一问题，我们可以从以下几个方面进行详细分析：

一. 向公安机关报案

1. 经理行为涉嫌犯罪：公司经理谎称公章丢失并私自刻章备案，这一行为很可能触犯《中华人民共和国刑法》中的伪造公司印章罪。根据《刑法》第二百八十条的规定，伪造公司、企业、事业单位、人民团体的印章的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利，并处罚金。
2. 报案流程：公司应收集相关证据，如经理的谎称记录、私自刻章的证据等，向当地公安机关报案，要求追究经理的刑事责任。

二. 追究经理的法律责任

1. 内部处理：公司可根据内部规章制度，对经理进行纪律处分，如解雇、罚款等。
2. 民事赔偿：经理的私自刻章行为可能给公司带来经济损失或商誉损害，公司可依据《中华人民共和国民法典》的相关规定，向法院提起民事诉讼，要求经理承担赔偿责任。

三. 采取民事诉讼维权

1. 诉讼主体：公司作为被侵害方，是适格的诉讼主体。
2. 诉讼请求：公司可要求经理停止侵害行为、消除影响、赔礼道歉，并赔偿因此造成的经济损失和商誉损失。
3. 证据收集：在诉讼过程中，公司需提供充分的证据证明经理的侵权行为，如公章使用记录、备案信息、经济损失证明等。

四. 其他措施

1. 公告声明：为防止经理的私自刻章行为对公司造成进一步影响，公司可在媒体或官方网站上发布公告，声明原公章作废，新公章的样式及启用日期等。
2. 加强内部管理：公司应加强对公章等重要物品的管理，建立健全的保管和使用制度，防止类似事件再次发生。

我建议，公司在发现经理的私自刻章行为后，应立即采取行动，先向公安机关报案，同时考虑采取民事诉讼等法律手段维权。在处理过程中，公司应保留好相关证据，以便在需要时提供证明。此外，加强内部管理也是预防类似事件再次发生的关键。如有进一步需要，您可以继续咨询我。