关于认定行政机关不履行法定职责的法定条件判决，我们可以从以下几个方面进行详细阐述：
一、核心结论前置
当行政机关不履行其法定职责时，公民、法人或其他组织有权依法提起行政诉讼，要求行政机关履行职责并承担相应的法律责任。法院在审理此类案件时，会依据一定的标准来判断行政机关是否履行了法定职责，并据此作出相应的判决。
二、认定标准
行政相对人违法行为是否停止：
- 如果行政机关虽然作出了行政处罚决定，但行政相对人的违法行为并未停止，如某公司仍在违法生产且环保设施不符合标准，那么可以判断行政机关未履行法定职责。
行政机关是否穷尽法律手段：
- 行政机关在作出行政处罚决定后，如果未采取所有可能的法律手段来确保决定的执行，如催告、加处罚款、申请法院强制执行等，那么也可以认定行政机关未履行法定职责。
行政机关拒绝履行法定职责是否有法定理由：
- 如果行政机关以无法定职权或无法律依据等理由拒绝履行其法定职责，但实际上法律、法规或规章已经明确规定了其职责，那么这种拒绝履行也是不合法的。
三、举证责任
- 在行政诉讼中，对于行政机关不履行法定职责的案件，原告需要承担一定的举证责任，证明其已经向行政机关提出了申请，并且行政机关未履行法定职责。
- 同时，被告（即行政机关）也需要承担举证责任，证明其已经履行了法定职责或者存在合法的不履行理由。
四、裁判结果
- 如果法院认定行政机关未履行法定职责，那么可能会判决行政机关在一定期限内履行其法定职责。
- 如果行政机关的拒绝履行行为是合法的，那么法院会判决驳回原告的诉讼请求。
五、实际案例
- 例如，在某县检察院诉县环保局行政公益诉讼案中，环保局虽然对某公司作出了《责令改正违法行为决定书》，但该公司仍在违法生产，且环保设施不符合标准。法院最终认定环保局未履行法定职责，并判决其采取进一步措施确保公司停止违法生产并符合环保标准。
综上所述，认定行政机关不履行法定职责的法定条件判决是一个复杂而细致的过程，需要综合考虑多个方面的因素。如果您有相关法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。