结论前置：司机在工厂卸货时手被厂里叉车压到受伤，责任的承担需根据具体情况来分析。一般来说，工厂和叉车司机（若其存在过错）可能需承担相应的赔偿责任。

详细分析：

1. 工厂责任：

   • 工厂作为卸货场所的管理者和叉车的使用者，有责任确保工作场所的安全，包括提供必要的安全设施、进行安全培训以及监督叉车司机的操作。
   • 若工厂在安全管理上存在疏漏，如未设置安全警示标志、未提供足够的安全防护设备、未对叉车司机进行充分的安全培训等，导致司机受伤，则工厂需承担相应的雇主责任。

2. 叉车司机责任：

   • 叉车司机在操作过程中应严格遵守安全操作规程，确保周围人员的安全。
   • 若叉车司机因操作不当、疏忽大意或故意行为导致司机受伤，则叉车司机个人也需承担相应的赔偿责任。

3. 司机自身责任：

   • 司机在卸货过程中也有义务遵守工厂的安全规定，注意自身安全。
   • 若司机因自身疏忽大意或故意行为导致受伤，可能会减轻工厂和叉车司机的赔偿责任。

处理建议：

1. 紧急就医：受伤司机应首先前往医院进行检查和治疗，确保伤势得到妥善处理，并保留好所有医疗费用凭证。

2. 报告与记录：向工厂相关负责人报告事故情况，并要求其进行记录。同时，可考虑报警，以便获取警方的出警记录和调查结果作为证据。

3. 收集证据：全面收集与事故相关的证据，包括现场照片、证人证言、工作相关证据等，以还原事故经过并证明责任方。

4. 协商赔偿：在伤势稳定后，与工厂和叉车司机进行协商，要求赔偿因受伤遭受的各项损失。若协商不成，可考虑通过法律途径解决。

5. 考虑工伤认定：若司机与工厂存在劳动关系，且受伤情况符合工伤认定条件，可向当地劳动保障行政部门提出工伤认定申请，并享受相应的工伤保险待遇。

综上所述，司机在工厂卸货时手被厂里叉车压到受伤，责任的承担需综合考虑工厂、叉车司机和司机自身的责任情况。若您在此类问题中遇到困惑或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。