如果劳动仲裁申请人在仲裁过程中死亡，应由其第一顺序继承人以继承人的名义继续参与仲裁或提起诉讼。以下是详细分析：

1. 经济补偿金的权利形成：

   • 申请劳动仲裁期间申请人去世，如果申请理由成立，那么申请人得到经济补偿金的权利形成在先，该经济补偿金应为申请人生前合法个人财产。

2. 仲裁程序的中止与继续：

   • 此时应参照《民事诉讼法》相关规定中止仲裁程序，等待第一顺序继承人决定是否参加仲裁。
   • 第一顺序继承人决定参加仲裁的，仲裁程序继续进行。如果第一顺序继承人决定不参加仲裁，则仲裁程序可能终止，但相关权利可以通过法律途径由继承人主张。

3. 第一顺序继承人的确定：

   • 第一顺序继承人通常包括配偶、父母、子女。在申请人死亡后，这些继承人应协商确定是否继续参与仲裁，并推选代表进行相关活动。

4. 法律建议：

   • 对于劳动仲裁申请人在仲裁过程中死亡的情况，其家属（第一顺序继承人）应及时与仲裁机构联系，说明情况，并决定是否继续参与仲裁。
   • 如果决定继续参与仲裁，应准备相关证明材料，如死亡证明、继承关系证明等，以便仲裁机构确认继承人身份并继续审理案件。
   • 如果家属对仲裁程序或相关法律问题不熟悉，可以寻求专业律师的帮助，以确保自身权益得到有效维护。

综上所述，劳动仲裁申请人在仲裁过程中死亡时，应由其第一顺序继承人以继承人的名义继续参与仲裁或提起诉讼。家属应及时与仲裁机构联系并决定是否继续参与仲裁，同时准备相关证明材料以确保自身权益。如有任何法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。