对于没有劳动合同的员工在上班期间驾驶单位车辆发生交通事故的情况，处理起来确实会比较复杂，但还是有法可循的。以下是我为你提供的详细解答：

首先，未签劳动合同并不影响工伤的认定。根据相关规定，单位应在事故伤害发生之日起30日内为员工申请工伤认定，如果单位未按时申请，员工或其近亲属可以在1年内自行向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请。因此，即使没有劳动合同，你仍然有权申请工伤认定。

在申请工伤认定的过程中，你需要准备一些必要的材料来证明你与单位之间存在事实劳动关系，以及你在上班期间发生了交通事故。这些材料可能包括工资支付凭证、工作证、考勤记录、其他劳动者的证言等。这些证据将有助于你证明自己的劳动关系和工伤情况。

如果工伤认定成功，你将能够享受工伤保险待遇。如果单位没有为你缴纳工伤保险，那么相关的医疗费用、停工留薪期工资等应由单位承担。同时，由于你是在上班期间发生的交通事故，如果事故责任不在你，你还可以向肇事方主张人身损害赔偿，包括医疗费、误工费、护理费等。

另外，需要注意的是，在上班途中发生的非本人主要责任的车祸，你可能可以获得双重赔偿，但医疗费等部分费用不能重复获赔。因此，在处理赔偿事宜时，你需要仔细核对各项费用，并确保不会重复获赔。

最后，我建议你尽快收集所有相关的证据材料，如事故责任认定书、医疗票据、劳动关系证明等，并咨询专业的法律人士或机构，以便更好地维护自己的合法权益。如果与单位协商不成，你可以考虑申请劳动仲裁或提起诉讼来解决问题。

总之，虽然没有劳动合同可能会增加一些处理的难度，但只要你能够证明自己的劳动关系和工伤情况，你仍然有权获得相应的赔偿和待遇。希望这些信息能够对你有所帮助。