下班后心肌梗塞死亡，公司一般不需要赔偿，但在某些特定条件下可能需要承担工伤赔偿责任。以下是对此问题的详细分析：

1. 一般情况下的非工伤认定：

   • 根据《工伤保险条例》，工伤通常与工作时间、工作场所和工作原因紧密相关。因此，员工下班后在家中因心肌梗塞等自身疾病突发死亡，一般不属于工伤范畴，公司无需承担工伤赔偿责任。

2. 特定条件下的工伤认定：

   • 若员工下班后仍处于工作状态（如加班）或从事与工作相关的收尾性工作，并在工作岗位上开始发病，之后死亡或在48小时内抢救无效死亡，根据《工伤保险条例》第十五条第一款，这可能被视同工伤。
   • 对于某些具有灵活性和延伸性的工作岗位（如销售人员），即使下班后仍在处理工作事务时突发心肌梗塞并符合48小时内抢救无效死亡的条件，也存在被认定为工伤的可能性。

3. 赔偿项目与标准：

   • 若被认定为工伤，公司需承担丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等赔偿责任。具体标准包括：丧葬补助金为6个月的统筹地区上年度职工月平均工资；供养亲属抚恤金按照职工本人工资的一定比例发给由因工死亡职工生前提供主要生活来源、无劳动能力的亲属；一次性工亡补助金标准为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。
   • 如果公司未依法为员工缴纳工伤保险，那么原本应由工伤保险基金支付的费用将全部由公司承担。

4. 非工伤情况下的公司责任：

   • 在不被认定为工伤的情况下，公司虽无工伤赔偿责任，但可能会基于人道主义或公司内部规定，给予员工家属一定的慰问金或抚恤金。这取决于公司的具体政策和实际情况。

5. 社会保障制度支持：

   • 员工参加了基本养老保险的，其遗属可以领取丧葬补助金和抚恤金，这是社会保障制度的一部分，与公司无直接关系，但能减轻员工家属的经济负担。

综上所述，下班后心肌梗塞死亡是否属于工伤并需公司赔偿，需根据具体情况分析。若您或您的家属遇到此类情况，建议及时咨询专业律师或人力资源部门，以获取准确的法律意见和帮助。