在遗嘱笔迹被被告否认的情况下，通常由承担举证责任的一方申请鉴定。根据“谁主张谁举证”的原则，如果原告主张遗嘱有效并依据遗嘱要求继承财产，那么原告应当承担遗嘱真实性的举证责任，包括申请笔迹鉴定。以下是对此问题的详细分析：

1. 举证责任原则：

   • 在民事诉讼中，当事人对自己提出的主张有责任提供证据加以证明。
   • 如果原告主张遗嘱是其亲属（如被继承人）所立，并据此要求继承财产，那么原告需要承担证明遗嘱真实性的责任。

2. 申请鉴定的主体：

   • 通常情况下，由原告（即主张遗嘱有效的一方）向法院提出笔迹鉴定的申请。
   • 法院会委托专业的鉴定机构进行笔迹鉴定，以判断遗嘱上的笔迹是否与被继承人的笔迹相符。

3. 鉴定的过程和结果：

   • 鉴定机构会按照法定程序进行笔迹鉴定，包括收集被继承人的样本笔迹、对比遗嘱上的笔迹等。
   • 鉴定结果出来后，法院会根据鉴定意见来判断遗嘱的真实性，并据此作出相应的裁判。

4. 特殊情况下的处理：

   • 如果被告也提供了相反的证据来质疑遗嘱的真实性，并且这些证据足以使法院对遗嘱的真实性产生合理怀疑，那么法院可能会要求原告进一步提供证据或进行补充鉴定。
   • 在某些情况下，如果双方对遗嘱的真实性存在重大争议，并且无法通过其他方式解决，那么法院可能会组织双方当事人进行庭审质证或听证会，以进一步查明事实。

综上所述，当被告不承认遗嘱笔迹时，通常由原告承担举证责任并申请鉴定。如果原告无法提供足够的证据来证明遗嘱的真实性，那么其主张可能会得不到法院的支持。因此，在处理此类纠纷时，建议当事人及时咨询专业律师并收集相关证据以维护自己的合法权益。