餐饮单位使用发芽土豆是违法行为，将依据相关法律法规受到严厉的处罚。下面是对此问题的详细解答：

首先，从法律依据上看，商家销售发芽土豆违反了《中华人民共和国食品安全法》的相关规定。该法明确指出，生产经营腐败变质、霉变生虫等感官性状异常的食品是违法的。发芽土豆因可能产生有毒的龙葵素，对人体健康有潜在危害，因此被归类为不符合食品安全标准的食品。

关于罚款规定，具体罚款幅度根据货值金额来确定。如果货值金额不足一万元，商家将面临五万元以上十万元以下的罚款。若货值金额一万元以上，罚款金额则为货值金额的十倍至二十倍。此外，若情节严重，商家还可能被吊销许可证，这将对其经营活动造成严重影响。

在行政处罚的履行方面，一旦行政处罚决定依法作出，当事人必须在决定书载明的期限内履行。如果确有经济困难，可以申请延期或分期缴纳罚款，但需经过行政机关的批准。若逾期不履行，行政机关有权采取一系列强制措施，如加处罚款、拍卖查封扣押财物、划拨冻结存款等，甚至申请人民法院强制执行。

当然，商家也有法律救济途径。如果对食药局的罚款决定不服，可以在规定时间内通过申请行政复议或提起行政诉讼等法律途径来维护自身的合法权益。

除了《中华人民共和国食品安全法》，销售发芽土豆还可能涉及其他相关法律法规，如《农产品质量安全法》和《食用农产品市场销售质量安全监督管理办法》等。因此，在实际操作中，建议商家咨询当地食品药品监督管理部门或专业律师，以获取最准确的信息和法律指导。

综上所述，餐饮单位应严格遵守食品安全法律法规，确保食品的质量和安全。一旦违法使用发芽土豆等不符合安全标准的食品，将面临严厉的法律处罚。同时，商家也应了解自身的法律权利和救济途径，以便在必要时维护自己的合法权益。