在看守所被抓37天，并非取保候审的绝对时间界限，只要符合法定条件，随时可以申请取保候审。以下从多个角度为你详细分析：

一、取保候审的法律依据与条件

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条的规定，以下情形的犯罪嫌疑人、被告人可以申请取保候审：

1. 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的：这类犯罪相对较轻，对社会的危害性较小，因此有可能获得取保候审。
2. 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的：即使犯罪可能较重，但只要犯罪嫌疑人、被告人不会对社会造成新的危害，也有可能获得取保候审。
3. 患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，且采取取保候审不致发生社会危险性的：这类人群由于身体原因或特殊生理状况，需要特别的照顾和保护，因此也有可能获得取保候审。
4. 羁押期限届满，案件尚未办结，需要继续采取取保候审的：在案件侦查、审查起诉或审判过程中，如果羁押期限已经届满但案件尚未办结，为了保障犯罪嫌疑人、被告人的合法权益，可以采取取保候审。

二、37天的含义与取保候审的申请时机

1. 37天的含义：在刑事诉讼中，37天通常指的是刑事拘留的最长期限，包括公安机关对犯罪嫌疑人的最长拘留时间30天，以及提请人民检察院审查批准逮捕的7天时间。但这并不意味着必须等到37天才能申请取保候审。
2. 申请时机：取保候审的申请并不受37天时间限制的约束。从犯罪嫌疑人被拘留开始，只要符合取保候审的条件，就可以随时向办案机关提出申请。无论是在刑事拘留阶段还是逮捕后阶段，只要满足条件，都有可能获得取保候审的批准。

三、取保候审的实际操作与决定因素

在实际操作中，能否取保候审除了看是否满足法定条件外，还会受到多种因素的影响：

1. 案件的性质与严重程度：如果案件涉及严重暴力犯罪或重大经济犯罪等，取保候审的难度可能会相对较大。
2. 犯罪嫌疑人的社会危险性与再犯可能性：如果犯罪嫌疑人具有较大的社会危险性或再犯可能性，办案机关可能会倾向于不予批准取保候审。
3. 犯罪嫌疑人是否有固定住所和稳定的收入来源：这有助于确保犯罪嫌疑人在取保候审期间能够遵守相关规定，不会逃避法律制裁。
4. 犯罪嫌疑人的认罪态度与悔罪表现：如果犯罪嫌疑人能够积极认罪、悔罪，并表现出良好的改造态度，这有助于增加取保候审的批准可能性。

四、取保候审的申请流程与审批程序

1. 申请流程：取保候审的申请需要向办案机关提出，并提供相应的担保措施，如保证人或保证金。申请时，需要提交取保候审申请书及相关证据材料。
2. 审批程序：办案机关会对申请进行审查判断，符合条件的才会批准取保候审。这一过程中，办案机关会严格依法办事，确保取保候审的合法性和正当性。
3. 执行规定：一旦取保候审获得批准，犯罪嫌疑人或被告人可以暂时离开看守所，但必须严格遵守取保候审期间的相关规定，如不得离开所居住的市、县，不得干扰案件侦查等。违反规定的，可能会被取消取保候审并重新羁押。

五、实例分析

以犯罪嫌疑人张某为例，其因涉嫌盗窃罪被刑事拘留。在被羁押的第10天，张某的家属发现张某患有严重的心脏病，需定期就医治疗。此时，家属可以通过律师向公安机关提出取保候审的申请，并提交医院的诊断证明等相关材料。公安机关经审查后，若认为张某符合“患有严重疾病、生活不能自理，且采取取保候审不致发生社会危险性”的条件，则可能会批准该申请。

总结与建议：

取保候审并非一定要在看守所待到37天才能申请。在刑事案件的各个阶段，只要符合取保候审的条件，都可以随时提出申请并获得批准。因此，如果你或你的亲友面临类似情况，建议尽快咨询专业律师（即我本人），以便更准确地了解相关法律规定和操作流程，提高申请的成功率。同时，也需准备好充分的证据材料以支持申请。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。