在刑事拘留37天期间及之后，若犯罪嫌疑人符合特定条件，是可以申请取保候审的，但具体能否成功需由司法机关综合考量。以下从多个角度为您详细分析：
一、取保候审的法律依据与条件
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条的规定，以下情形下的犯罪嫌疑人、被告人可以申请取保候审：
可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的：这类犯罪通常情节较轻，对社会危害性较小，因此符合取保候审的条件。
可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的：即使犯罪嫌疑人可能面临较重的刑罚，但如果司法机关认为其被释放后不会对社会造成威胁，也可以考虑取保候审。
患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，且采取取保候审不致发生社会危险性的：这类犯罪嫌疑人因身体原因或特殊生理状况，需要特别的照顾和保护，因此符合取保候审的条件。
羁押期限届满，案件尚未办结，需要继续采取强制措施的：在羁押期限届满而案件尚未办结的情况下，为了保障案件的顺利进行，可以对犯罪嫌疑人采取取保候审等强制措施。
二、37天特殊意义与取保候审申请时机
刑事拘留期间，公安机关有权对犯罪嫌疑人进行拘留，并在一定时间内提请人民检察院审查批准逮捕。一般情况下，这一提请时间为拘留后的三日以内，特殊情况下可延长一日至四日，对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，则可延长至三十日。人民检察院应在接到提请后七日内作出决定，因此，从刑事拘留到检察院决定是否批准逮捕的最长期限通常为37天。
在这37天内，若犯罪嫌疑人符合上述取保候审条件，其本人、法定代理人、近亲属或辩护人均可向公安机关提出取保候审申请。此外，即使超过37天，只要案件尚未终结，且犯罪嫌疑人符合取保候审的条件，仍有机会提出申请。但此时需考虑更多因素，如案件进展、证据情况及司法机关的评估。
三、影响取保候审成功的因素
犯罪嫌疑人的社会危险性：司法机关会评估犯罪嫌疑人若被释放，是否会对社会造成威胁。若犯罪嫌疑人被认为不具有社会危险性，则更有可能被批准取保候审。
案件的性质和情节：罪行较轻、情节不严重的犯罪案件，如初犯、偶犯且犯罪行为未造成严重后果的案件，相对更容易被批准取保候审。
证据的充分程度：证据的收集情况、是否足以支持起诉也是重要考量因素。若证据不足或存在争议，司法机关可能会更加谨慎地考虑是否批准取保候审。
司法机关的审查判断：最终决定权在于司法机关，他们会综合考虑所有因素作出裁决。因此，即使犯罪嫌疑人符合取保候审的条件，也不一定能成功获得取保候审。
四、实例分析
以李某涉嫌盗窃罪为例，若在被拘留的第20天发现其患有严重心脏病，需要定期治疗。此时，家属可通过律师向公安机关提出取保候审申请，强调李某符合“患有严重疾病”的条件。公安机关将审查申请材料，并结合李某的健康状况、案件性质及社会危险性等因素作出决定。若李某被认为不具有社会危险性，且案件性质较轻，那么其取保候审的申请就有可能被批准。
五、建议与注意事项
及时咨询专业律师：面对刑事拘留及取保候审问题，建议尽快向我咨询，以便准确评估取保候审的可能性，准备充分的申请材料，并积极配合司法机关的调查工作。
遵守取保候审规定：若成功获得取保候审，犯罪嫌疑人需严格遵守相关规定，如不得离开居住地、及时到案等。若违反规定，已交纳保证金的将没收部分或全部保证金，并可能面临更严厉的强制措施。
关注案件进展：在取保候审期间，犯罪嫌疑人应密切关注案件进展，及时与律师沟通，以便在必要时采取进一步的法律措施。
总之，刑事拘留37天期间及之后，若犯罪嫌疑人符合取保候审条件，是可以申请取保候审的。但具体能否成功需由司法机关综合考量。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。