结论前置：
- 若工厂自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者签订书面劳动合同，需向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿。
- 若工厂违反规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同，同样需自应当订立之日起向劳动者每月支付二倍的工资。
详细分析：
一、赔偿依据及标准
根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，工厂未与劳动者签订书面劳动合同，需承担以下赔偿责任：
- 用工之日起超过一个月不满一年：工厂应向劳动者每月支付二倍的工资。这一支付期间从用工之日起满一个月的次日开始计算，截止时间为补订书面劳动合同的前一日，但最长支付期限为11个月。
- 用工之日起满一年：若工厂自用工之日起满一年仍未与劳动者签订书面劳动合同，则视为双方已订立无固定期限劳动合同。此时，工厂应立即与劳动者补订书面劳动合同，并支付自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日期间的每月二倍工资，共计十一个月。
二、具体计算方式
- 支付期间：根据用工时间确定支付双倍工资的期间。例如，若劳动者于2024年1月1日入职，至2024年12月31日仍未签订劳动合同，则从2024年2月1日起至2024年11月30日，劳动者除正常工资外，还可要求工厂支付同等金额作为赔偿。
- 工资基数：一般按照劳动者应得工资计算，包括计时工资、计件工资、奖金、津贴和补贴等货币性收入。若劳动者在劳动合同解除或终止前12个月的平均工资低于当地最低工资标准，则按当地最低工资标准计算。
三、特殊情况处理
- 劳动者拒绝签订：若自用工之日起一个月内，经工厂书面通知后，劳动者不与工厂订立书面劳动合同的，工厂可以书面通知劳动者终止劳动关系，无需支付经济补偿，但需支付实际工作时间的劳动报酬。
- 经济补偿：若因劳动者不与工厂订立书面劳动合同而导致劳动关系终止，且劳动者在工厂工作超过一个月不满一年，工厂应按劳动者工作年限支付经济补偿。具体标准为每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。
四、主张赔偿的途径
- 与工厂协商：劳动者可先与工厂友好沟通，要求支付未签订劳动合同的双倍工资差额及可能的经济补偿。
- 向劳动监察部门投诉：若协商不成，劳动者可向当地劳动监察部门投诉，由其进行调查和处罚。
- 申请劳动仲裁：劳动者也可直接向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。需准备相关证据如工资支付凭证、工作证、考勤记录等以证明劳动关系及工作时间。
- 提起诉讼：对仲裁结果不满意时，劳动者可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
实际操作建议：
- 保留证据：劳动者在主张赔偿时，应确保收集并保存好与工厂存在劳动关系及工作时间的相关证据，如工资条、工作证、考勤记录等。
- 及时行动：劳动者应及时行使自己的权利，以免错过仲裁时效。劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。
- 了解法律：熟悉相关法律法规和程序规定有助于劳动者更有效地维护自身权益。
作为黄嘉雪律师，我建议你在遇到此类问题时，首先尝试与工厂协商解决。若协商无果，再考虑通过法律途径维护自己的权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。