针对您提出的“员工医疗期满后继续要求请病假，公司如何处理”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确医疗期的定义。医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息，而企业不得解除劳动合同的时限。当员工的医疗期满后，如果其仍然无法痊愈并返回工作岗位，公司需要采取一系列合理的措施来应对。
一、与员工沟通并确认情况
要求书面确认：公司可以要求员工书面确认其“不能从事原工作”，并详细说明其病情及无法工作的原因。这有助于公司了解员工的实际情况，并为后续的处理提供依据。
了解医疗证明：公司应要求员工提供正规的医疗证明，以证明其确实需要继续休息和治疗。医疗证明应包含医生的诊断、建议的休息时间等信息。
二、另行安排工作
评估员工能力：在确认员工无法从事原工作后，公司应评估员工的能力，看是否可以为其安排其他适合的工作岗位。这有助于员工继续为公司贡献力量，同时也体现了公司对员工的关怀。
通知员工上班：如果公司能够为员工安排其他工作，应通知员工上班，并明确告知其新的工作岗位和职责。
三、处理员工继续请假的情况
构成“不能从事另行安排的工作”：如果员工在接到通知后仍然继续请假不来上班，且无法提供合理的医疗证明，那么这可能构成“不能从事由用人单位另行安排的工作”。此时，公司可以要求员工再次书面确认这一情况。
解除劳动合同：根据《劳动合同法》第四十条第一项的规定，如果员工确实不能从事原工作也不能从事由用人单位另行安排的工作，公司可以提前三十日以书面形式通知员工本人，或者额外支付员工一个月工资后，解除劳动合同。同时，公司应当依法支付相应的经济补偿。
四、处理争议和维权
劳动能力鉴定：如果双方对员工是否能够从事原工作或新工作存在争议，可以根据当地规定进行劳动能力（复工）鉴定。鉴定结果将作为处理争议的重要依据。
依法维权：如果公司以医疗期满、拒不返岗为由按旷工处理或单方解除劳动合同，而员工认为公司的处理不符合法律规定，员工可以向企业所在区的劳动人事争议仲裁委员会申请调解或仲裁，以维护自己的合法权益。
五、特殊情况处理
对于孕期等特殊情况的员工，医疗期满后如果仍然需要继续休息和治疗，公司应更加谨慎处理。根据《女职工劳动保护特别规定》等相关法律法规，公司应尽量为孕期员工提供必要的便利和保护，如协商继续休病假、调整工作岗位等。如果公司拒绝按病假处理并停发病假工资、要求社保全部由个人承担等行为，可能违反相关法律法规，员工可以依法维权。
综上所述，公司在处理员工医疗期满后继续要求请病假的问题时，应遵循相关法律法规和公司规章制度，与员工进行充分沟通并确认情况，合理评估员工能力并另行安排工作，依法处理员工继续请假的情况，并妥善处理争议和维权问题。